平行线分线段成比例及证明

1l2l3lFEDCBAEFDEBCABDFDEACABDFEFACBCl1l2l3平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例如图已知l1∥l2∥l3求证或或L3L2L1MFEDBACNABSABMBCSBCMAMSABMMNSBMNABAMBCMNABDEBCEF定理的证明过A点作AN∥DF，交l2于M，交l3于N点，连接BN、CM（如图(1-2）∵l1∥l2∥l3∴AM=DEMN=EF在△ACN中，有.∵BM∥CN∴S△BCM=S△BMN∴亦即平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例“对应”是数学的基本概念，】图1-1中，在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推出如下结论之一：（1）简称“上比下”等于“上比下”（2）简称“上比全”等于“上比全”（3简称“下比全”等于“下比全”把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论。L3L2L1MFEDBACNABDEBCEF因为l1∥l2∥l3所以如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？ab基本图形：“A”字形L1L2L3ABCDEFABDEBCEFab基本图形：“x”字形L1L2L3ABCD（E）FABDEBCEFabL1L2L3ABCDEFGABAEBCEF平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.全全下下上上ABDEBCEF!注意:应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.平移BACABFECDM(D)EF平移ABC平移ABCEDNFDF(E)全全下下上上l2l3l1l3ll推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的线段对应成比例.ABCDEl2ABCDEl1llab平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等。L1L2L3ABCDEFABDEBCEF平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？ABCDEFABCDEF1当BCAB1当BCAB结论：后者是前者的一种特殊情况！用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.FEBACD已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、EBCDEACAEABAD求证：DE//BCACAEABADEF//ABBCBFACAEDE=BFBCDEACAEABAD例1已知：如图，AB=3，DE=2，EF=4。求BC。321////lll练习：已知：如图，，AB=a,BC=b,EF=c.求DE。321////lll1l2l3lEFDBAC1l2l3lDCBEAF例2如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2,BC=8.求BF和CF的长.FACB分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.解∵DE//BC3264ACAEABAD∵DF//ACCBCFABAD316,832CFCF即38316-8BFDE例3如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD.求证:AD是AB和AF的比例中项.FEBACD分析:分别在△ABC及△ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论证明AEACADABDE//BCABC,,中在AEACAFADEF//CDADC,,中在AFADADAB∴AD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中项EFDEBCAB（平行线分线段成比例定理）。三练习全全下下上上！EFBCDEABDFACEFBCDFACEFBCDEAB证明：因为321////lllDFEFACBC（平行线分线段成比例定理）。因为DFACEFBCDEAB已知：如图，，求证：。321////lll1l2l3lEBADCFEFDEBCAB（平行线分线段成比例定理）。设AB=X，则BC=8—X即：516AB516XDFDEACAB（平行线分线段成比例定理）。即：3228AB516AB方法二解：因为321////lll方法一解：因为321////lll32X-8X已知：如图，，AC=8，DE=2，EF=3，求AB。321////lll3l2l1lACDBEF一、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.（关键要能熟练地找出对应线段）小结二、要熟悉该定理的几种基本图形ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFab基本图形：“A”字形L1L2L3ABCDEFABBEBCEFab基本图形：“x”字形L1L2L3ABCD（E）FABBEBCEF