报童问题

1关于报童问题的分析摘要本文讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。通过运用蒙特卡洛（MC）算法、插值拟合等基本模型，运用概率论与数理统计的背景知识，得出每天报纸需求量的概率分布，建立报童收益模型，以达到报童最大收益为目的，使报童每天的进货量与需求量尽可能地吻合，以使损失最少，收益最大。在问题一中，首先对题目中给出的报童159天的报纸需求量进行概率分布计算，得出报纸需求量的概率分布)(rf，...2,1,0r，代入建立好的报童收益模型中求出平均收益的最大值7358.33)(nMaxG，nrrf)(，200n。在问题二中，即将第一问中的概率分布)(rf转化为概率密度)(rp，在Matlab工具箱子CFtool中计算得出此时概率密度为正态分布，将问题一模型中的求和转化为积分，通过对目标求导等手段分析得出每天的报纸进货量n。其中2)98.54)1.190(()(xerp，)(nG（），n关键词随即贮存，概率分布，概率密度，平均收益21、问题重述1.１问题背景在实际生产生活过程中，经常会遇到一些随时间、地点、背景不同而发生变化的事物，例如报纸的销售的问题。如果报纸的销售量小于需求量，则会给报童带来缺货损失，失去一部分潜在客户，一部分报纸失销（为简化计算，在本模型中我们忽略缺货损失）；如果报纸的销售量大于需求量，则会导致一部分报纸被退回报社，给报童造成一部分退货损失，减少盈利。所以在实际考虑中，应使报纸的购入量尽可能地吻合需求量，减少报童的损失，获得更大的盈利。１.２报童获利途径报童以每份0.3元的价格买进报纸，以0.5元的价格出售。当天销售不出去的报纸将以每份0.2元的价格退还报社。根据长期统计，假设已经得到了159天报纸需求量的情况。对现有数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均总收入最大。１.３问题提出现在需用数学建模解决以下问题：问题1：若将据报纸需求量看作离散型分布，试根据给出统计数据，求出报纸需求量的分布律，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？问题2：若将据报纸需求量看作连续型分布，试根据给出的统计数据，进行分布假设检验，确定该报纸需求量的分布，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？２、模型假设（１）假设报童在以后的日子里需求量概率分布概率密度遵循这159天的规律（２）假设不考虑缺货损失（３）假设报童进报纸量达到一定数量后不会产生贮存等其他费用（４）假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量３、符号说明r报纸需求量)(rf报纸需求量概率分布（离散型）)(rp报纸需求量概率密度（连续性）)(nG报童每天购进n份报纸的平均收入3)(ng报童一天的利润收入n报童每天买进报纸量1pnr时的概率2pnr时的概率４、问题分析单周期随机贮存在实际生产生活中经常遇到，单周期即只订一次（缺时也不订），期后可处理余货；随机因素是需求和拖后时间，统计规律为历史资料。报童问题模型的提出及最优解决方案可以为类似问题提供借鉴之处。４.１问题一的分析问题一要求将报纸需求量看作离散型分布，根据给出的数据求报纸需求量的分布律。当数据是离散型的时候我们可以直接计算得出报纸需求量的分布律。根据计算出的分布律代入到建立的模型中，经求导等步骤后得出报童每天买进报纸数量及最大平均总收入。４.２问题二的分析问题二要求将报纸需求量看作连续型分布。因统计数据为历史资料，因而只能得出历史条件下的概率密度。在问题一的模型基础上我们需将题目中给出的数据进行统计分析，数据拟合得出概率密度)(rp，将求和转化为积分，同样利用求导等手段求出最优解。５、模型的建立与求解５.１问题一的模型建立与求解５.１.１计算)(rf因该组数据为离散型分布：159天报纸需求量情况需求量r100120140160180200220240260280天数3913223235201582表1所以：4nrrf)(○1计算结果如下表：报纸需求量概率分布表r100120140160180200220240260280)(rf0.01890.05660.08180.13840.20130.22010.12580.09430.05030.0126表2５.１.２计算目标函数（１）当天若需求量r小于供应量n时，售出r份，退回)(rn份，报童收入为))(2.03.0()3.05.0(rnr元；（２）当天若需求量r大于供应量n时，售出n份，退回０份，报童收入为n)3.05.0(元。故有nrnrnrnrng2.0)(1.02.0)(根据○1可得nrnrrnfrfrnrnG01)()3.05.0()()])(2.03.0()3.05.0[()(nrnrrnfrfrnr01)(2.0)()](1.02.0[○2即求n使)(nG最大即问题一的数学模型为：nrnrrnfrfrnrnGnrrf01)(2.0)()](1.02.0[)()(在lingo环境下计算出)(,nGn的值。其中7358.33)(,200nMaxGn5．2问题二的模型建立与求解5本模型重在分析连续型分布概率密度)(rp的求解过程。我们采用插值拟合的方法使用matlab的曲线拟合工具箱CFtool拟合出)(rp的图像（图1.1）及函数表达式。5．2．1)(rp的求解过程（1）程序详见附录。。。（2）验证在matlab环境下对使用CFtool拟合出来的正态分布曲线进行验证（图1.2），得出样本方差，标准差，置信区间计算结果：muhat=189.4340sigmahat=38.8318muci=183.3516195.5164sigmaci=34.981543.6419图像如下图所示：图1.16图1.2由上图可观察出数据处于置信区间之内。其中，2)98.54)1.190(()(xerp○35．2．2计算目标函数由○2可得，nndrrnpdrrprnrnG0)()3.05.0()()])(2.03.0()3.05.0[()(nndrrnpdrrprnr0)(2.0)()](1.02.0[○4对)(nG关于n求导，得：nndrrpnnpdrrpnnpdndG0)()3.05.0()()3.05.0()()2.03.0()()3.05.0(nndrrpnnpdrrpnnp)(2.0)(2.0)(1.0)(2.00○5令○5=0，得2)()(00drrpdrrpn又01)(drrp，所以ndrrp032)(○67即若使报童平均收益达到最大值则有○5成立。在。。。环境下，计算出,.....n6、模型的评价与推广6.1模型的评价优点：在数据离散型分布的情况下，我们较为准确地对报童每天应买进的报纸量进行了计算；在数据连续型分布的情况下，我们对159组数据进行分析，在matlab环境下进行插值拟合，模拟出符合报纸需求量的正态分布曲线，并且做出验证，证明数据皆处于置信区间之内，具有可信度。缺点：我们在建模过程中忽略了缺货损失造成的影响。报纸属于薄利多销型商品，报童在卖报时不会希望自己手中的报纸小于当天的需求量，所以应使报童每天的买进量尽可能地等于报纸的需求量。我们在建模时考虑到了该点，在一定程度上弥补了缺货损失造成的误差。6.2模型的推广存储论是运筹学的一个重要分支，在上述模型中，我们运用概率与数理统计及微积分等知识对报童应每天买进多少报纸量才能获得最大收益进行了成功的探讨。本模型对于如何使商品随机贮存获得最大收益有一定价值，可以广泛应用与商品贮存策划中，对生产商供销商面临的商品存贮问题起到了一定得指导作用。7、参考文献[1]杨振环，基于excel软件的报童问题计算机系统仿真研究，辽宁工程技术大学工商管理学院[2]贵州省博弈决策与控制系统实验室，缺货损失厌恶的报童问题[3]蔡砥，运筹学——随机型存贮模型，广州大学地理科学学院8、附录8．1附录清单8附录1：求解问题一得LINGO程序及运算结果附录2：求解问题二概率密度)(rp的散点图、程序及拟合曲线图、程序附录3：验证)(rp准确性的Mathematica程序附录4：求解问题二中报纸买进量及最大收益的。。。。程序8．2附录正文附录1：求解问题一得LINGO程序及运算结果程序：model:title:报童问题（一）;sets:A/1..159/:buy,demand,c,d;B/1/:f;endsetsdata:demand=100100100120120120120120120120120120140140140140140140140140140140140140140160160160160160160160160160160160160160160160160160160160160160160180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180180200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200200220220220220220220220220220220220220220220220220220220220220240240240240240240240240240240240240240240240260260260260260260260260280280;enddata@for(a(i):buy(i)=f(1));!将进货量固定成定值;@for(a(i):c(i)=buy(i)-demand(i));!确定每天的供求关系;@for(a(i):d(i)=@if(c(i)#ge#0,1,0));!如果供大于求，d=1；供小于求，d=0;max=(@sum(a(i):@if(c(i)#ge#0,demand(i),buy(i))*0.2-0.1*c(i)*d(i)))/159;!目标函数;@gin(f(1));!e必须是整数;@for(a(i):@bin(d(i)));!将d规定为1，0向量;@FOR(A(i):@free(C(i)));!扩大数组c的范围;End结果：9图2附录2：求解问题二概率密度)(rp的散点图（图3）、程序及拟合曲线图（图1.1）图3程序：x=[100:20:280];y=[0.01890.05660.08180.13840.20130.22010.12580.09430.05030.0126];10cftool(x,y);图1.1附录3：验证)(rp准确性的Mathematica程序x=[100100100120120120120...120120120120120140140140...140140140140140140140140...140140160160160160160160...160160160160160160160160...160160160160160160160160...180180180180180180180180...180180180180180180180180...180180180180180180180180...180180180180180180180180...200200200200200200200200...200200200200200200200200...200200200200200200200200...200200200200200200200200...200200200220220220220220...220220220220220220220220...220220220220220220220240...2