[应用随机过程][课件][第05章][随机信号的功率谱密度]

CH4随机信号的功率谱密度2020/7/6上海理工大学Page2•随机过程的谱分析•功率谱密度与自相关函数之间的关系•功率谱密度的性质•互谱密度及其性质•白噪声提纲2020/7/6上海理工大学Page3随机过程的谱分析•频谱的简单回顾–非随机信号的傅立叶变换设s(t)是时间t的非周期实函数，其傅立叶变换存在的条件为：(1)s(t)在范围内满足狄利赫利条件(2)或备择条件信号的总能量有限),(dtts2)(dtts)(2020/7/6上海理工大学Page4随机过程的谱分析•频谱的简单回顾若s(t)满足上述条件，其傅立叶变换对存在（正变换）（反变换）其中S(w)称为信号s(t)的频谱，它反映了信s(t)中各频率成分的分布状况dtetsStj)()(deStstj)(21)(2020/7/6上海理工大学Page5随机过程的谱分析•频谱的简单回顾–帕赛瓦尔等式其中被积函数称为能量谱密度上式表明，信号的能量也可以由能量谱密度在整个频率范围的积分乘以得到dSdtts22)(21)]([2)(S2/12020/7/6上海理工大学Page6随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度一个问题：随机过程的持续时间是无限的，其总能量也是无限的，不满足傅立叶变换的绝对可积条件，随机过程的频谱不存在解决：研究随机过程的平均功率TTTdttxTW2)(21lim2020/7/6上海理工大学Page7随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度–随机过程的截断函数任取随机过程X(t)的样本函数x(t)，定义其截断函数为TtTttxtxT,0),()(2020/7/6上海理工大学Page8随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度–截断函数的傅立叶变换x(t)是随机过程X(t)的一个样本函数，因此，和都是实验结果的随机函数，表示为和TTtjTtjTTdtetxdtetxX)()()(deXtxtjTT)(21)()(TX)(txT),(txT),(TX2020/7/6上海理工大学Page9随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度–样本函数的平均功率ddtetxXTdtdeXtxTdttxTWTTtjTTTTTtjTTTTTTT),(21),(2121lim),(21),(21lim),(21lim22020/7/6上海理工大学Page10随机过程的谱分析信号的平均功率可以分别由和在时域和频域内积分得到–定义功率谱密度函数),(txTdXTdXTTTTT22),(21lim21),(2121lim2),(21lim),(TTXXTG),(TX2020/7/6上海理工大学Page11随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度–样本函数的功率谱密度函数(1)当在整个频率范围内对它积分，得到信号的总功率(2)描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况2020/7/6上海理工大学Page12随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度–随机过程的功率谱密度函数对所有的样本函数的功率谱密度取统计平均，得到的结果不再具有随机性，而是频率的确定函数，称为随机过程的功率谱密度函数22),(21lim),(21lim)],([)(TTTTXXXETXTEGEG2020/7/6上海理工大学Page13随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度–随机过程的平均功率对所有样本函数的平均功率取统计平均TTTTTTTdttXETdttxETWEW22)(21lim),(21lim][2020/7/6上海理工大学Page14随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度–随机过程的平均功率随机过程的平均功率可以由它的均方值的时间平均得到，也可以由它的功率谱密度在整个频域上积分得到dGdXETWEWXTT)(21),(21lim21][22020/7/6上海理工大学Page15随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度–若随机过程为平稳随机过程均方值为常数，与时间t无关，故平稳随机过程的平均功率等于该过程的均方值，它可以由随机过程的功率谱密度在全频域的积分得到dGRtXEWXX)(21)0()]([22020/7/6上海理工大学Page16随机过程的谱分析•随机过程的功率谱密度–若随机过程为各态历经过程样本函数的功率谱密度和随机过程的功率谱密度以概率1相等22),(21lim),(21lim)(TTTTXXTXETG2020/7/6上海理工大学Page17随机过程的谱分析•例：随机过程X(t)为式中，是常数，是在上均匀分布的随机变量，求随机过程X(t)的平均功率•解：0,a)cos()(0tatX)2/,0()2sin(22)22cos(22]2)22cos(1[)](cos[)]([0222/0022020222taadtaatEataEtXE2020/7/6上海理工大学Page18随机过程的谱分析显然不是常数，故这个过程不是平稳随机过程，因此平均功率为)]([2tXE2)2sin(221lim)]([21lim20222adttaaTdttXETWTTTTTT2020/7/6上海理工大学Page19功率谱密度与自相关函数之间的关系•自相关函数是从时间角度描述过程统计特性的最主要的数字特征•功率谱密度是从频率角度描述过程统计特性的数字特征•可以证明：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间构成傅里叶变换对2020/7/6上海理工大学Page20功率谱密度与自相关函数之间的关系•维纳-辛钦定理–平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数为傅里叶变换对deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(2020/7/6上海理工大学Page21功率谱密度与自相关函数之间的关系•证明：根据故：TTtjTtjTTdtetxdtetxX)()()(),(),(),(2TTTXXXTTTTttjTTTTTTTtjTtjTTTTXdtdtetxtxETdtetxdtetxTEXETG21)(21221121221)]()([21lim)()(21lim),(21lim)(2020/7/6上海理工大学Page22功率谱密度与自相关函数之间的关系令)]()([),(2121tXtXEttRTTXTdedtttRTdedtttRTdtdtettRTGjTTXTtTtTjTTXTTTTTttjXTX),(21lim),(21lim),(21lim)(21)(21121tttttt2122020/7/6上海理工大学Page23功率谱密度与自相关函数之间的关系定义为自相关函数的时间平均得到：结论：对于任意随机过程，它的自相关函数的时间均值与过程的功率谱密度互为傅里叶变换TTXTXdtttRTR),(21lim)()(XRdeRGjXX)()(2020/7/6上海理工大学Page24功率谱密度与自相关函数之间的关系当X(t)为平稳随机过程时故：于是：平稳过程的功率谱密度就是其自相关函数的傅里叶变换)(),(XXRttR)()(21lim),(21lim)(XTTXTTTXTXRdtRTdtttRTRdeRGjXX)()(2020/7/6上海理工大学Page25功率谱密度与自相关函数之间的关系•几点讨论–(1)利用自相关函数和功率谱密度都是偶函数的性质，维纳-辛钦定理可表示成dRGXXcos)(2)(0dGRXXcos)(1)(02020/7/6上海理工大学Page26功率谱密度与自相关函数之间的关系•几点讨论–(2)负频率只是为了数学上的处理方便，实际中并不存在，定义“单边谱密度”，也称“物理功率谱密度”，记为)(XF000)(2)(XXGF2020/7/6上海理工大学Page27功率谱密度与自相关函数之间的关系•几点讨论–(3)维纳-辛钦公式在含有直流或周期性成分的平稳随机过程的推广平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数互为傅里叶变换对要求绝对可积，即)(XRdRX)(2020/7/6上海理工大学Page28功率谱密度与自相关函数之间的关系•几点讨论问题：对于直流信号或周期信号，由于有在离散的频率点上（零带宽内）的平均功率存在，这些频率点上的功率谱密度是无限值，不满足绝对可积条件解决：将直流分量在各个频率点上的无限值用一个函数来表示，借助函数的性质及其傅里叶变换对，将维纳-辛钦公式推广到含直流或周期成分的平稳过程中2020/7/6上海理工大学Page29功率谱密度与自相关函数之间的关系•几点讨论1)如果平稳过程有非零均值（直流分量），非零均值可用频域原点处的函数表示，该函数的权值即为直流分量的功率2)如果平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成分就在频域的相应频率上产生函数2020/7/6上海理工大学Page30功率谱密度与自相关函数之间的关系•几点讨论3)函数的傅里叶变换对dedejj21)(21)(21dedejj)(1)(212020/7/6上海理工大学Page31功率谱密度与自相关函数之间的关系•例：若随机过程X(t)的相关函数为，求功率谱密度•解：0cos21)(XR)()(24141)(2121cos21)(00)()(00000dededeeedeGjjjjjjX2020/7/6上海理工大学Page32功率谱密度与自相关函数之间的关系•例：若随机过程X(t)的自相关函数为，求功率谱密度•解：1,01,1)(XRdjdjdededeGjjjX0110011011)sin)(cos1()sin(cos)1()1()1()1()(2020/7/6上海理工大学Page33功率谱密度与自相关函数之间的关系22101010)/2()/2(sincos)1(2)sin)(cos1()sin(cos)1(ddjdj2020/7/6上海理工大学Page34功率谱密度的性质•功率谱密度的性质–性质1：非负性–性质2：是实函数–性质3：是偶函数–性质4：0)(XG)(XG)(XG)()(2XXGG2020/7/6上海理工大学Page35互谱密度及其性质•定义互谱密度函数•互平均功率TYXEGTTTXY2)],(),([lim)(dGdTYXEdtttRTdttYtXETWXYTTTTTXYTTTTXY)(212)],(),([lim21),(21lim)]()([21lim2020/