一起学奥数-周期问题(五年级)

风子编辑周期问题五年级教育目标了解许多事物的变化都有周期性教育重点掌握周期的规律，并能解决简单的周期问题教育难点采用什么样的手段得到周期的循环数掌握事物变化的周期，并能灵活运用周期变化规律解决实际问题通过对周期问题的探究并总结出利用数学思想解决实际周期问题第一课基础部分例1、把2/7化为循环小数，问小数点后第2014个数字是几？这2014个数字和是多少？【分析】把分数2/7化为小数是0.285714●●这是一个循环小数，循环节为285714，六个数字。2014÷6=335……4，即小数点后的2014个数字，由335个循环节和一个循环节的前4个数字组成。所以，第2014个数字是7。这2014个数字和为：335×（2+8+5+7+1+4）+(2+8+5+7)=9067理解带余数的除法中各数的意义例2、将100个小球放入依次排列的36个盒子中，如果任意相邻的5个盒子中的小球均为14，且第1个盒子中有2个小球。求第36个盒子中小球的个数。【分析】任意相邻的5个盒子中的小球数均为14，把36个盒子依次按5个一组分组因为36÷5=7……1所以36个盒子可以分成7组，余1个。100-7×14=2所以，第36个盒子中的小球的个数为2个。……思路二：请一位学生按照我画的图，将出来。……第1个盒子里的球与第6个相同，同理，第6个盒子中的与第11个相同。可以发现一个规律，每五个的第一个盒子的小球数是一样的因为36÷5=7……1，所以第36个盒子中的小球为2个请思考两张方法找规律的相同点和不同点例3、A、B、C、D、E五个盒子中依次放有9、5、3、2、1个小球，第1位小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取1球放入这个盒子，第2位小朋友接着也找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取1球放入这个盒子，如此不断重复上述的操作，那么，当第50位小朋友放完后，A、B、C、D、E盒中依次各有多少小球？【分析】本例是操作题，找到操作题的做好方法，就是按题目要求一步步做操作。初始状态95321盒子编号ABCDE第一次操作后84215第二次操作后73154第三次操作后62543第四次操作后56432第五次操作后45326第六次操作后34265第七次操作后23654第八次操作后62543做到第三次操作的时候，5个数字是连续自然数做到第8次操作的时候，出现的数字，不仅与第三次出现的一致，而且顺序也一样。按照同样的规律，后续操作将做有规律的循环。请说出操作过程中的规律剔除前两次操作，以后每5次操作，小球在五个盒子中的状态（数量和位置）循环出现（50-2）÷5=9……3即小球在盒子中的状态与2+3次的状态一致所以，A=4B=5C=3D=2E=6例4、A、B、C、D、E、F六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A→F，B→D，C→E，D→B，E→A，F→C。开始时，A、B、C、D、E、F拿着各自的玩具，传递完2014轮时，有（）个小朋友又拿到了自己的玩具。【分析】题目给定了两两传递的顺序，我们可以根据题目给定的传递方式，列出整个传递链。A→F→C→EB→D由上图传递链可以明白，B和D之间，传递完奇数轮时，自己的玩具在对方手上，偶数轮时，回到自己的手上。A、F、C、E之间，每传递完4次，就回到自己的手上。哪怎么来判断传递2014轮，自己的玩具是否在自己手上呢?2014÷4=503……2没有除尽，说明没有回到自己的手上。因此，只有2个小朋友的玩具回到了自己的手上。例5、72015表示2015个7连乘，求这个乘积的末尾数。【分析】两个数相乘，只有这两个数的个位数字才会影响积的个位数。如51×123的积的个位数字，和1×3的各位数字是一致的。所以，7的各n次幂的个位数字可以如下方式得到：7的n次幂个位数字717727×79739×73743×71751×77从左图表格可以看出，每4次幂，个位数字重复出现。即循环周期为42015÷4=503……3，即这个乘积的末尾数是3。例6、A、B、C、D、E五个盒子中依次放有2、4、6、8、10个小球，第一个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出4个放在其他盒子中各一个球。第二个小朋友也找到放球最多的盒子，从中拿出4个放在其他盒子中各一个球，依次类推。当2014个小朋友放完后，A盒中放有（）个球。【分析】是否发现这题与例3类似，请同学们回忆下，并说出相同点和不同点我们同样先按题目条件进行操作，以找出周期性规律。初始状态246810盒子编号ABCDE第一次操作后35796第二次操作后46857第三次操作后57468第四次操作后68574第五次操作后74685第六次操作后85746第七次操作后46857第八次操作后57468第九次操作后68574第十次操作后74685（2014-1）÷5=402……31+3=4所以第2014个小朋友放完后，A盒中放的球与第4次放的球一样多，为6个。第二课提高部分例1、真分数a÷7化成小数后，小数点后至少多少个数字之和是2008，这时a是多少?【分析】我们知道，分数都可以化成循环小数，因此我们可以先尝试把所有以7为分母的分数化为小数形式。1÷7=0.142857142857142857…2÷7=0.285714285714285713…3÷7=0.428571428571428571…4÷7=0.571428571428571428…5÷7=0.714258714258714258…6÷7=0.857142857142857142…由以上六个等式可以看出，以7为分母的6个分数化为小数后，循环节由数字1、4、2、8、5、7组成。而1+4+2+8+5+7=272008÷27=74……10也就是说，和为2008的这个循环小数，由74个循环节与和循环节中相邻数字和为10的数字组成。而循环节中相邻数字之和为10的只有2和8。所以，这个循环节为28开头的一组。对比上面六个等式，可以发现a=2周期性问题必定存在着规律分数都是有理数，能够化为循环小数日历中的周期问题一周共有7天，所以计算星期几的问题是一个周期为7的周期问题。一年12个月，学会用手握拳的方法计算一个月有几天，同时需要注意2月闰年有29天，平年是28天。能被4整除且不能被100整除的年份是闰年，能直接被400整除的年份也是闰年。如1900能被4整除，但也能被100整除，所以不是闰年；2000能直接被400整除，所以是闰年。例2、今天是星期二，再过20天是星期几？再过100天呢？【分析】为了使得计算后的余数代表星期几，可以先把周期的起始日调整为星期一。今天是星期日，代表周期的起始日为星期三，所以调整至星期一的话，在原有天数的基础上再加2，即再过22天是星期几22÷7=3……1所以，再过20天是星期一同理，再过100天，即为：102÷7=14……4，也就是说，再过100天是星期四规划好起始日，可以使计算变得清晰。当然，每个小朋友都可以尝试养成自己的计算习惯，避免计算失误。例3、一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月？【分析】一个月的天数为28~31，一周为7天，所以一个月为4~5周之间。也就是说，一个月内，同一星期几的天数4天或5天。怎样使一年中星期日这天最多呢？当一年的开始是星期日的时候，一年中星期日最多。全年为[365÷7]+1=53个星期日。假设每个月都只有4个星期日。则一年的星期日为4×12=48个，而53-48=5，即还剩下5星期天。所以，有5个星期日的月份最多为5个月。例4、已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月5日是星期几？【分析】首先我们应该知道，一个月内，不管是星期几，它的天是只能是4天或5天。所以，通过题目的条件，就可知道星期一、星期二有5天，其它都是4天。列表如下：日一二三四五六星期一、二为5天，所以把1日定位在第一行的星期一这一列。234567891011121314151617181920212223242526272829301接着，按顺序写完这个月份日历表，直至到最后一行星期二的这一列。假设，这个月是少于30天，那么星期二只能是4天，如果这个月是31天，则星期三与星期二的天数会一样。所以，这个月只能是30天。所以，由表格我们知道，这个月的5日是星期五。对本类型问题建数学模型如下：一个月的天数：4×7+（5个星期几的天数）（4×7+2=30天）某日为星期几：（日期+起始星期几-1）÷7=商……余数，余数即为星期几。知识点小结事物在运动变化过程中，某些特征由规律循环出现，这就是周期现象。解决周期性问题的关键是确定循环周期。观察、逆推等方法找规律：1、找出周期，用总量除以周期，如果恰好整除，则为周期的最后一个2、如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个3、如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算周期问题分类年月日中的周期问题广义正确理解题意，找准变化规律狭义确定突破口（观察法、逆推法、经验法等）周期性问题的基本解题思路