金融问题中的差分方程模型

（一）贷款问题设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是1r建立数学模型计算每月的还款数是多少？，今采用月还款的方式逐月偿还，金融问题中的差分方程模型kAm121rr模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键.元，月还款为月贷款利息为元，模型假设：设贷款后第k个月后的欠款数是kAmArAAkkk1mArAkk)1(10,100000240AA模型建立：关于离散变量，考虑差分关系有：即：这里已知有：（3.15）1kkkAAB111)1()1(kkkrBrBBkkBBBAA...210])1(...)1(1[110krrBA,...2,1,0],1)1[()1(0krrmrAkkrA,0012nAm2,0052125.0,100000nrA356.444m模型求解：令，则这就是差分方程（3.15）的解.把已知数据代入中，可以求出月还款额例如：时，可以求出：元.AAkrmArmA0rmAkrmA0模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等.，则，并且当时，总有.欠款余额逐步减少，并最终还上贷款.即表明：每月只还上了利息.只有当时，如果令•（二）、养老保险模型•问题：•养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值.也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？•模型举例分析：•假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率.kkFrqp、模型假设：这应当是一个过程分析模型问题.过程的结果在条件一定时是确定的.整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的.假设投保人到第月止所交保费及收益的累计总额为每月收益率为，用和之后每月交费数和领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份.分别表示60岁之前kFMNkqrFFNkprFFkkkk,...,,)1(1,...,1,0,)1(11kFMF模型建立：在整个过程中，离散变量的变化规律满足：在这里保险人帐户上的资金数值，我们关心的是，在第M个月时，能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损.当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益.实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，kFr的变化关系，特别是引入收益率的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础.从这个分析来看，引入变量，很好地刻画了整个过程中资金，虽然它不是我们所求600,420;2282,20MNqp00FMNkrrqrFFNkrrprFFNkNkNkkkk,...,1],1)1[()1(`,..,2,1,0],1)1[()1(0模型计算：以25岁起保为例.假设男性平均寿命为75岁，则有初始值为，我们可以得到：,NkMk0MF0)1)(1()1(pqrpqrNMM00485.0r00413.0,00461.0rr在上面两式中，分别取和并利用可以求出：利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的根为：同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为