“隐圆”问题

“隐圆”问题(2017·苏北四市期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).(例1)(1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,MN=AB,求直线l的方程.(2)在圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12?若存在,求点P的个数;若不存在,请说明理由.【思维引导】(1)利用r2=()+d2求解;(2)根据条件PA2+PB2=12,确定点P的轨迹,即为“隐圆”,然后利用两圆的位置关系,确定点P的个数.(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为.【思维引导】两条直线均过定点,交点在以两个定点间线段为直径的圆周上,从而问题转化为求圆上的点到直线x-y-4=0距离的最大值.(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗≤20,则点P的横坐标的取值范围是.有些时候,在条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题目中的,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐圆”问题.如何发现隐圆(或圆的方程)是关键,常见的策略有以下几种:(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆;(2)A,B是两个定点,动点P满足PA2+PB2为定值确定隐圆;(3)动点P对两定点A,B张角为90°(kPA·kPB=-1)确定隐圆;(4)A,B是两个定点,动点P满足⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗=l(l为常数)确定隐圆(如变式);(5)A,B是两个定点,动点P满足PA=λPB(λ0且λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆);(6)由圆周角的性质确定隐圆等.1.(2017·海安期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(-1,0),Q(2,1),直线l:ax+by+c=0,其中实数a,b,c成等差数列,若点P在直线l上的射影为H,则线段QH的取值范围是.2.(2017·南通密卷)已知点A(2,3),点B(6,-3),点P在直线3x-4y+3=0上,若满足等式⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗+2λ=0的点P有两个,则实数λ的取值范围是.3.(2017·通州检测)设m∈R,直线l1:x+my=0与直线l2:mx-y-2m-4=0交于点P(x0,y0),则++2x0的取值范围是.4.(2017·南京、盐城一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2+2c2=8,则△ABC面积的最大值为.5.已知线段AB的长为2,动点C满足⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗=λ(λ0),且点C总不在以点B为圆心,为半径的圆内,则负数λ的最大值为.6.(2017·南通一模)在平面直角坐标系xOy中,已知B,C为圆x2+y2=4上两点,点A(1,1),且AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围为.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在直线l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.8.(2017·南通二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8nmile的A处,发现在其北偏东30°方向相距4nmile的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;参考数据:sin17°≈√,√≈5.7446(2)问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由.