人教九年级数学第23章 旋转―旋转基础知识及专题(word版 含答案)

第1页共11页旋转及综合专题一、旋转相关定义1、定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、如果图形上的点P经过旋转变为P1，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后图形全等。4、把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。6、把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。二、旋转相关结论如图，将ABC绕点A逆时针旋转角到AB1C1。点B和点B1为对应点，点C和C1为对应点。结论1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线均经过旋转中心。如图，线段BB1的垂直平分线l1、线段CC1的垂直平分线l2都经过旋转中心点A。利用这个结论我们可以利用对应点坐标求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后联立即可求出旋转中心坐标。结论2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角。如图，ABB1和ACC1均为等腰三角形，BAB1CAC1。第2页共11页结论3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图，BAB1∽CAC1。结论4：旋转前、后图形全等。如图，ABCAB1C1。示例1：已知A(3,2)、O(0,0)，将线段OA绕点P旋转得到线段O1A1，其中O1(1,1)、A1(3,4)，O1为点O的对应点，A1为点A的对应点，求点P的坐标。分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段AA1和线段OO1的解析式，然后联立即可求出点P的坐标。解析：∵A(3,2)，A1(3,4)∴直线AA1:x3∴直线AA1的垂直平分线l1:y1∵O(0,0)，O1(1,1)∴直线OO1:yx∴直线OO1的垂直平分线l2:yx1点P为l1与l2的交点，联立：11yyx，可得：P(0,1)。∴点P的坐标为P(0,1)。附：在直角坐标系中求线段的垂直平分线的方法（必须掌握知识点）已知点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，求线段AB的垂直平分线l。处理方法如下：第一步：根据点A(x1,y1)和点B(x2,y2)的坐标首先求出直线AB的解析式：l1:yk1xb1。第二步：设线段AB的垂直平分线l的解析式为：l:yk2xb2。以为l2l1，所以k1k21，从而求出k211k，因此线段AB的垂直平分线l的解析式转化为：211yxbk第三步：根据中点坐标公式直接写出线段AB中点M(122xx,122yy)。分析：既然直线l为线段AB的垂直平分线，所以直线l经过线段AB的中点，也即线段AB的中点在直线l上。第四步：将线段AB的中点M(122xx,122yy)代入l:211yxbk中求出b2的值。最后将b2的值代入211yxbk中即可求出线段AB的垂直平分线的解析式。示例：已知点A(2,4)和点B(2,2)，求线段AB的垂直平分线l。处理方式如下：第一步：由点A(2,4)和点B(2,2)，可得直线AB的解析式l1:y12x3。第二步：设线段AB的垂直平分线l的解析式为：l:yk2xb2。以为l2l1，所以k1k21，从而求出k22，因此线段AB的垂直平分线l的解析式转化为：l:y2xb2。第三步：由点A(2,4)和点B(2,2)，可得线段AB的中点M(0,3)。第四步：将点M(0,3)代入l:y2xb2中可得b23。因此，第3页共11页最终可得线段AB的垂直平分线为l:y2x3。提醒：处理方法需要牢记，另外计算的时候要格外细心，千万不要算错了！三、点绕点旋转90问题此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应点坐标。示例：将点A(3,4)绕点P(1,1)逆时针旋转90，求点A的对应点A1的坐标。分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段的夹角。因此有PAPA1。由于旋转角为90，即APA190，因此我们可以就斜边PAPA1，以平行于坐标轴的线段构造两个直角三角形。很显然，这两个直角三角形时全等三角形。然后利用直角边线段长度关系即可求出点A1的坐标。解析：如图，过点P作直线l平行于x轴交y轴于点B，过点A作AMl于M，过点A1作A1Nl于N。易证AMPPNA1（ASA），则有：AMPN，PMA1N。∵A(3,4)，P(1,1)∴AM3，PM2，PB1∴N(2,1)∴A1(2,3)。四、旋转示例解析（理解如何利用线段旋转带动线段所在三角形旋转）在解决旋转相关题型时，最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合，从而利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，进而构造全等三角形，再利用旋转知识解决相关问题。因此，在处理此类题型时，同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰三角形，尤其注意等腰直角三角形、等边三角形、正方形、顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形时，同学可以考虑以下利用旋转来解题。以下通过一些实例来帮助同学们理解如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。第4页共11页例1：已知如图ACB，ACB90，ACAB，PA3，PC2，PB1，求BPC的度数？分析：这里明显可以判断ACB为等腰直角三角形，因此可以利用将其中一腰旋转至与另一腰重合，构造全等三角形。图（1）图（2）解析：图（1）中是将等腰直角三角形ACB的一腰AC绕点C逆时针旋转90与另一腰BC重合，从而带动CAP逆时针旋转90至CBH，可得：CAPCBH，CPCH，HCP90，PABH3∴CPH45，PH2PC22∴PH2PB2BH2∴HPB90∴BPC135图（2）中是将等腰直角三角形ACB的一腰BC绕点C顺时针旋转90与另一腰AC重合，从而带动CPB逆时针旋转90至CHA，可得CPBCHA，可得CHP45，再利用勾股定理证PHA90即可。例2：已知，如图所示，等腰RtACB，ACB90，D为ACB外一点，且满足ADC45，AD3，CD4，求BD的值？分析：这里已知等腰RtACB，可以将等腰RtACB的一腰BC顺时针旋转90与另一腰AC重合，从而带动DCB顺时针旋转90至HCA。解析：将DCB绕点C顺时针旋转90至HCA。则有，DCBHCA，DCHC，DCH90，HDC45，DH2DC42又∵ADC45∴HDA90，最后利用勾股定理可以求出AH的值，也即BD的值。第5页共11页例3：已知如图，ABC为等边三角形，PA7，PB3，PC2，求APC的度数？分析：这里已知ABC为等边三角形，符合旋转条件，可以将ABC一边AC顺时针旋转60与另一边AB重合解析：将APC绕点A顺时针旋转60至AHB，则APCAHB，APAH，HAP60，PCHB2∴AHP为等边三角形∴HPPA7∴HB2HP2PB2∴BHP90∴APCAHB150。例4：已知如图，四边形ABCD，ADC60，ABC30，且ADAC，求证：AB2BC2BD2。分析：这里实际可知ADC为等边三角形，满足旋转条件。解析：将ADB绕点A逆时针旋转60至ACH。可得ABH为等边三角形，又∵ABC30从而可得CBH90，直角三角形就可以使用勾股定理了。例5：如图，已知等边ABC，点D为ABC外一点，且满足BDC120，试问，BD，DA，DC是否有确定的数量关系？分析：这里ABC为等边三角形，满足旋转条件。解析：将ABD绕点A逆时针旋转60至ACH。则有，ABDACH，ABDACH。ADH为等边三角形∴DADH∵BDC120，BAC60∴ABDACD180∴ACHACD180第6页共11页∴D，C，H三点共线（必须证三点共线，否则扣分）∴DADCDB。变式拓展：如图已知等边ABC，点D为ABC外一点，但BDC大小不确定，BD3，DC4，试问DA的最大值为多少？分析：这里ABC为等边三角形，满足旋转条件。解析：将ABD绕点A逆时针旋转60至ACH。则有，ABDACH，ADH为等边三角形∴CHBD3，DADH∵DHDCCH∴DA7。∴DADCCH例6：如图，已知正方形ABCD，E为正方形ABCD外一点，AE22，DE1，求CE的最大值？分析：这里出现了正方形ABCD（正方向可以看成是两个等腰直角三角形组合而成），符合旋转条件。解析：将EDC绕点D顺时针旋转90至HDA，则有：EDCHDA，CEAH，DEDH，EDH90∴EH2DE2∴AHAEEH22232∴CE32第7页共11页五、旋转相似旋转相似是比较难的一种变换模式，难就难在不易发觉更不易构造，掌握起来比较难。两个相似三角形绕某一点旋转，必然出现一对新的相似三角形。如图，ABC∽AB1C1，则有ABB1∽ACC1。证明：∵ABC∽AB1C1∴BACB1AC1，BAB1CAC1∵ABC∽AB1C1∴11BACABACA∴11BABACACA∴ABB∽ACC例1：如图，已知ABC为等边三角形，D为AB的中点，DE1，EA2，求CE的最大值？分析：ABC为等边三角形，D为AB的中点，则ACD30，ADC为直角三角形，可以利用这个ACD30特殊角进行构造相似三角形。解析：连CD，则CDAD，且AC2AD，即2ACAD。构造RtAEH，使得2AHAE则RtADC∽RtAEH∴DACEAH60∴EADHAC又∵ACAD2AHAE∴AHC∽AED∴ACAD2AHCHAEDE∴CH2DE2∵EAH60，AEH90∴EH3AE23∴CEEHCH∴CE232。小结：这里可以看出RtADC∽RtAEH，则AHC∽AED。第8页共11页例2：如图，已知RtABC中，ACB90，12BCAC，CD3，AD5，求BD的最大值？分析：这里ACB为直角三角形，12BCAC，。可以利用这个直角三角形直角边的比构造相似三角形。解析：过点C作CHCD，且满足12CDCH，连DA，AH。则有：RtACB∽RtHCD。∴ACHBCD又∵CDCH12BCAC∴DCB∽HCA∴CDCH12BCBDACAH∴BD12AH又∵AHDHDA，DH5CD35∴AH45∴BD25小结：这里ACB∽HCD，则有DCB∽HCA。第9页共11页第11页共11页六、旋转的四种模型（仅作了解）（1）绕点模型普通绕点模型很容易看出旋转中心，一般在等腰三角形尤其是特殊的等腰三角形中可以绕顶点进行旋转，使两腰重合，从而构造三角形全等来解题。ABAC，则有：BCCD，则有：CBCACD，则有：BAMBCNBCM