第九章 整式

江同营初一上数学讲义第1页共21页第九章整式第1节整式的概念【知识要点】1．字母表示数:字母表示数具有简明、普遍的优越性。从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了从特殊到一般的抽象概括的思维方式。2．列代数式:即用字母把数字和数量关系简明地表示出来。3．代数式的值:列代数式解决问题时，往往要根据代数式里的字母的取值来确定代数式的值，因此求代数式的值是运用列代数式解决问题的一个重要方面。4．整式:最简单、最基本的代数式（1）单项式:由数与字母的积或字母与字母的积组成的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。（2）多项式：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列，反之按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。如：多项式343225327xyyxyxy按y的降幂排列为432233257yxyxyxy，按y的升幂排列为322347523xyxyxyy。【基础训练】1.汽车每4小时行a千米，它的速度是千米/小时。2.教室里原有m个同学，走出去4人，则教室剩下的同学人数是人。3.某商品现价a元，比原价降低了25%，则原价为元4.买单价x元的球拍n个，应找回的钱用代数式表示是元。5.实验中学初一年级12个班级中共有团员a人，则12a表示的实际意义是6.如图，用代数式表示图中阴影部分的面积abba题6图7.商场为了促销，常用打折的办法，某商品原零售价为m元，先后两次打折，第一次打八折，第二次打七折，两次打折后零售价为元。8.当2x时，代数式3212x的值是9.当3,2yx时，代数式)1(yx的值是江同营初一上数学讲义第2页共21页10.当372a时，代数式12aa的值是11.多项式912125234343yxxxyyyx的次数是，常数项是12.将多项式512332yxyxxy按x的降幂排列是13.若nmxy31是关于字母yx、的单项式，其系数为－5，次数是5，那么m=n=14.用代数式表示：a的2倍与b的一半之和的平方15.小明从家出发去五角场，如骑车每小时行a千米，则t小时可到达五角场。现乘公共汽车，每小时比骑自行车多行b千米。（1）试求乘公共汽车多少小时可到达五角场（2）当4,25,15tba时，乘公共汽车到五角场所花时间是多少？【能力提高】1．有一个两位数，十位上数字是x，个位上的数字是y，如果把它们的位置交换，得到的新的两位数是，这两个两位数差多少。2．543232xyzyxnn是七次多项式，则n=3．设n是正整数，用含n的代数式表示：（1）比n大且与2n相邻的奇数；（2）能被5整除的偶数。4．已知9522yx，求代数式5842yx5．已知3yx，求2453yxyxyx的值6．已知0)3(22nm，求代数式5322nmnm的值第2节整式的加减江同营初一上数学讲义第3页共21页【知识要点】1．同类项的含义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项两个相同：﹙1﹚所含字母相同；﹙2﹚相同字母的指数分别相同，两者缺一不可。两个无关：﹙1﹚同类项与系数大小无关；﹙2﹚同类项与它们所含相同字母的顺序无关。2．合并同类项：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。如：abba32中，a2与a是同类项，b与b3是同类项，可以合并同类项babaabba2)31()12(32合并同类项的注意点：①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0。②合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并；不能合并的项，不能遗漏。③合并后的多项式结果可以是单项式，也可以是多项式。④书写按代数式的规范。3．整式的加减：去括号法则：①括号前是“+”号，把括号和他前面的“+”号去掉后，括号理各项的符号都不改变②括号前是“－”号，把括号和他前面的“－”号去掉后，括号理各项的符号都要改变如：3()3abab；3()3abab括号前有系数时去括号的方法：若代数式如32(2)ab，括号前有系数，应先进行乘法分配律，再去括号。注意：①去括号时，括号与前面的“+”号或“－”号一起去掉②括号前有数字因数，应把它与括号内各项相乘，切忌漏乘③去括号的实质是应用乘法分配律进行代数运算，“－”号可以看成系数为－1。【基础训练】1.写出ba2的一个同类项，你写的是。2.nyx3121与是同类项，则m＝,n＝。3.合并同类项222aaba。4.已知nmba352与mnya4224是同类项，则m＝,n＝。5.在22224332134xyxyxxyx中，没有同类项的是。6.yx24与yx25的差是。7.已知222yxyxA，xyxB2。则BA2。8.化简)(3)(222abaaba。江同营初一上数学讲义第4页共21页9.化简yxyx。10.将多项式22432yxyx减去多项式22yxyx的2倍的差是。11.化简：22322133121babaa12.已知：yxn5与myx351是同类项，求：代数式22nmnm13.已知2,21yx，求代数式3625432222xyxyyxyx的值14.1,2,1cba，求baababbaabc2224325的值15.已知13,53122xxBxxA，则当3x时，BA23的值是【能力提高】1．已知249yxm与133mnmyx是同类项，则22nm＝。2．已知22222222252,322,33yxzCxzyBzyxA，则（）（A）0CBA（B）0CBA（C）0CBA（D）0CBA3．两个三次多项式的差必是（）（A）三次多项式（B）二次多项式（C）次数不低于三次的多项式（D）次数不高于三次的多项式4．已知6622xyyxyx，，求22yx和222yxyx1．如果代数式15326222yxbxyaxx的值与字母x所取的值无关，求代数式江同营初一上数学讲义第5页共21页bababababba2224523的值2．已知21a，0)1(22cb，求abccacaabbaba34323212222的值第3节整式的乘除【知识要点】1．同底数幂的乘法：mnmnaaa逆用这个法则，也可以把一个幂分解为两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指数。如4312233333等2．幂的乘法：nmmnaa逆用法则：nmmnmnaaa可帮助我们根据问题的需要灵活将式子变形。如62344343xxxx3．积的乘方：nnnabab性质的逆向使用，会使一些数的计算简化。如1121221220102010201020104．整式的乘法：通过乘法交换律和结合律把它转化为幂的运算，并用合并同类项得到结果。（1）单项式与单项式相乘的步骤如下：①系数相乘——确定系数（特别注意符号）。②相乘字母相乘——底数不变，指数相加。③不同字母相乘——连同它的指数照办下来。（2）单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。（3）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。【基础训练】1.计算3xx。2.计算31nnaaa。江同营初一上数学讲义第6页共21页3.如果32nxaaax，那么。4.如果323mxxxy。5.若n为正整数且52nx，则nnxx22236.322a。7.计算232133xx8.计算212222aa。9.快速计算2004200555110.计算23343xyxy11.当1a时，233252aaa的值是12.dcba13.baba55214.计算13252xxx=15.计算xyyxxyyx2316.计算nnyxyx2223。17.用简便方法计算01.054125012318.计算147323332xxxxx江同营初一上数学讲义第7页共21页19.解不等式：32121113313xxxxxx20.解方程：47311231322xxxxxxx【能力提高】1．计算223naaa2．计算：aaaannn12323．比较831151624、、的大小4．已知的值求，nmmnxxx3,19575．试问2000199852的积有多少个0？是几位数？6．当2322xxnmxx不含xx,2项，求m，n的值.3．已知bacCacbBcbzA2,2.2江同营初一上数学讲义第8页共21页0CbaBacAcb求证：第4节乘法公式【知识要点】1．平方差公式：22()()ababab。（1）位置变化：如()()abba，可利用加法交换律；将第二个括号变为()ab，即可变为“标准型”。（2）符号变化：如()()abab[()]ab2222()()()()ababababba；（3）增项变化：如()()abcabc，若能将()ab看作一个整体，()()abcabc22222[()][()]()2abcabcabcaabbc。（4）增因式变化：如2244()()()()abababab，222244444488()()()()()abababababab。2.完全平方公式：222()2abaabb。注意：公式中的“a”、“b”既可代表具体的数，也可以是单项式或多项式。如：22()[()]abcabc22()2()ababcc222222abcabacbc【基础训练】1.在下列多项式的乘法中，能用平方差公式的是（）A、)1)(1(xx；B、)21)(21(abba；C、))((baba；D、))((22yxyx。2.在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式的是（）A、))((nmnm；B、))((3333yxyx；C、))((baba；D、))((2222cddc。3.与22169ba相等的式子是（）江同营初一上数学讲义第9页共21页A、)34)(34(abab；B、)43)(43(baba；C、)34)(34(abab；D、)23)(23(baba。4.若2429)3(xyyxm，那么代数式m应是（）A、)3(2yx；B、－xy32；C、23yx；D、23yx.5.27332x等于（）A、273732xx；B、24979924xx；C、2499794xx；D、2779324xx.6.要使式子2412aa成为一个完全平方式的结果，则应加上（）A、3；B、9；C、2.25；D、1.5.7.计算)52)(52(yxyx；8.计算