材料力学

§1–1轴向拉压的概念及实例§1–2内力、截面法、轴力及轴力图§1–3截面上的应力及强度条件第一章轴向拉伸和压缩（AxialTension）§1-4拉压杆的变形弹性定律§1-5拉压杆的弹性应变能§1-6拉压超静定问题及其处理方法§1-7材料在拉伸和压缩时的力学性能§1–1轴向拉压的概念及实例轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。一、概念轴向拉压的变形特点：变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图PPPP工程实例二、7AF1F2FFA12121F1F2F2F89用铰链连接的杆FR1011一、内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。§1–2内力·截面法·轴力及轴力图二、截面法·轴力内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。1.截面法的基本步骤：①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。2.轴力——轴向拉压杆的内力，用N表示。例如：截面法求N。0X0NPNPAPP简图APPPAN截开：代替：平衡：①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。三、轴力图——N(x)的图象表示。3.轴力的正负规定:N与外法线同向,为正轴力(拉力)N与外法线反向,为负轴力(压力)N0NNN0NNNxP+意义[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力N1：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN10X01DCBAPPPPN04851PPPPNPN21同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N2=–3PN3=5PN4=P轴力图如右图BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP++–轴力(图)的简便求法：自左向右:轴力图的特点：突变值=集中载荷遇到向左的P，轴力N增量为正；遇到向右的P，轴力N增量为负。5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力N(x)为：qqLxO2021d)(kxxkxxNx2max21)(kLxN[例2]图示杆长为L，受分布力q=kx作用，方向如图，试画出杆的轴力图。Lq(x)Nxxq(x)NxO–22kL一、应力的概念§1–3截面上的应力及强度条件问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；②材料承受荷载的能力。1.定义：由外力引起的内力集度。工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。PAM①平均应力：②全应力（总应力）：APpMΔΔAPAPpAMddΔΔlim0Δ2.应力的表示：③全应力分解为：pMANANAddΔΔlim0ΔATATAddΔΔlim0Δ垂直于截面的应力称为“正应力”(NormalStress)；位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearingStress)。变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。abcd受载后PPd´a´c´b´二、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2.拉伸应力：N(x)PAxN)(轴力引起的正应力——：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：))()(max(maxxAxN直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。4.公式的应用条件：6.应力集中（StressConcentration）：在截面尺寸突变处，应力急剧变大。5.Saint-Venant原理：离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。Saint-Venant原理与应力集中示意图(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：abcPP应力分布示意图：7.强度设计准则（StrengthDesign）：))()(max(maxxAxN其中：[]--许用应力，max--危险点的最大工作应力。②设计截面尺寸：][maxminNA;maxAN)N(fPi依强度准则可进行三种强度计算：保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。max①校核强度：③许可载荷：[例3]已知一圆杆受拉力P=25kN，直径d=14mm，许用应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：①轴力：N=P=25kNMPa1620140143102544232max..πdPAN②应力：③强度校核：170MPa162MPamax④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。[例4]已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=16mm，许用应力[]=170MPa。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆q8.5m①整体平衡求支反力解：钢拉杆8.5mqRARBHAkN519000.RmHXABA③应力：④强度校核与结论：MPa170MPa131max此杆满足强度要求，是安全的。MPa1310160143103264d4232max...PAN②局部平衡求轴力：qRAHARCHCNkN3260.NmC。sin;/hL/NABDBBD[例5]简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使BD杆最轻，角应为何值？已知BD杆的许用应力为[]。;BDBDLAV分析：xLhPABCDPxhNmBDA)/tan()sin(,0coshxPNBD/NABDBD杆面积A：解：BD杆内力N()：取AC为研究对象，如图YAXANBxLPABCYAXANBxLPABC③求VBD的最小值：;2sin][2sincos][xPhhxPLAV][2,45minoxPV时三、拉(压)杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkk解：采用截面法由平衡方程：P=P则：APpA：斜截面面积；P：斜截面上内力。由几何关系：coscosAAAA代入上式，得：coscos0APAPp斜截面上全应力：cos0pPkkPPPkk斜截面上全应力：cos0pPkkP分解：p20coscosp2sin2sincossin00p反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当=90°时，0)(min当=0,90°时，0||min当=0°时，)(0max(横截面上存在最大正应力)当=±45°时，2||0max(45°斜截面上剪应力达到最大)2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质—a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。3、拉压杆内一点M的应力单元体:1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。补充：PMcossincos020取分离体如图3，逆时针为正；绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：2sin2)2cos(12:00或4、拉压杆斜截面上的应力x图3MPa7.632/4.1272/0maxMPa5.95)60cos1(24.127)2cos1(20MPa2.5560sin24.1272sin20MPa4.1271014.310000420AP例6直径为d=1cm杆受拉力P=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为[]=100MPa；许用剪应力为[]=50MPa，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A=4cm²，试问:为使杆承受最大拉力,角值应为多大?(规定:在0~60度之间)。kN50,6.26BBP联立(1)、(2)得：PPmn解：)1(][cos2AP)2(][cossinAPP6030BkN2.463/41050460sin60cos260APkN50maxP(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左侧由剪应力控制杆的强度，B点右侧由正应力控制杆的强度，当=60°时，由(2)式得kN44.553/41060460sin/60/cos260,1APBkN44.55maxP解(1)、(2)曲线交点处：kN4.54;3111BBP?;MPa60][maxP讨论：若1、杆的纵向总变形：3、平均线应变：LLLLL1d2、线应变：单位长度的线变形。一、拉压杆的变形及应变LLL1d§1－4拉压杆的变形弹性定律abcdxL4、x点处的纵向线应变：xxxdlim06、x点处的横向线应变：5、杆的横向变形：accaacacacPPd´a´c´b´xxdL1二、拉压杆的弹性定律APLLdEANLEAPLLd1、等内力拉压杆的弹性定律2、变内力拉压杆的弹性定律)(d)()d(xEAxxNxLLxEAxxNxL)(d)()d(dniiiiiAELNL1d内力在n段中分别为常量时※“EA”称为杆的抗拉压刚度。PPN（x）xdxN(x)dxx1)()(1)d(ExAxNEdxx3、单向应力状态下的弹性定律1:E即4、泊松比（或横向变形系数）:或三、是谁首先提出弹性定律弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。“”胡：请问，弛其弦，以绳缓援之是什么意思?郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力，有三均”作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”(图)郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。其中”“两萧就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化：目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会