构造新数列

子忆-1-例1已知数列{an}满足：a1=1且)2(213221naannn.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设mN，mn2，证明（an+n21）m1（m-n+1）mm12分析：这是06年河北省高中数学竞赛的一道解答题（1）大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式由已知有an=112123nna,学生对形如1,0(1AABBAaann且,A，B是常数）形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?不妨设)2)(2(23211nxaxannnn即11223nnncaa与112123nnnaa比较系数得c=1.即nnna)23(21)21(232111nnnnaa又23211a,故{nna21}是首项为23公比为23的等比数列，故nnna21)23((2)这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证(mmnmmn1)1()232，当m=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等号成立。设)1()23(nmbmnn下面先研究其单调性。当mn时，111111134)11(32)11()23()(),11()23()1()23(nnmmnnmmnnbbmmnmbbnmnmnmbb即数列{nb}是递减数列.因为n2，故只须证,122mmb即证mmm1)23(2。事实上，492125111)1(221mmCmCmmmmm故上不等式成立。综上，原不等式成立。无独有偶，在不到1个月的06年全国一卷高考题22中恰出现了本例中构造数列求通项公式na的模型。有兴趣的同学可找做一做。例2设数列{na}满足12,311naaann子忆-2-（1）求{na}的通项公式；（2）若11111,1,1nnnnnnnccdnaccbc求证：数列{nndb}的前n项和31ns分析：（1）此时我们不妨设)(2)1(1BAnaBnAann即BAAnaann21与已知条件式比较系数得.0,1BA)(2)1(1nanann又}{,211naan是首项为2，公比为2的等比数列。nanannnn2,2即.（3）由（1）知nnnnbna21,2.当2n时,.21221121121...21211......1)(...)()(112121123121nnnnnnnbbbcccccccc当n=1时，1c=1也适合上式，所以1212nnc，故)12)(22(1)21212121(21111nnnnnnndb方法一：nn2221，3121n(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.)31)211(31211)21(161231...231231,2312nnnnnnnSdb.方法二:在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n3时,我们看:121)]221121(...)301151()14171[(31121221...1511417161617131)12()22(1...15141761321111111nnnnnnnnnnSSS我们可重新加括号得这样由前二项会得到子忆-3-...310121,022112111也易让学生接受步想法这样也实现了我们的初得证故显然nnnns易验证当n=1，2时31ns.综上31ns下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题.例3已知正项数列{na}满足)(,)1(1,1211Nnanaaannn（1）判断数列{na}的单调性；（2）求证：21)1(1112111naannnn分析：（1）nnnnaanaa1210)1(1故，即nnaa1故数列{na}为递增数列.(2)不妨先证21)1(111naann.)1(1)1(1)1(1121212111naanaanaaaaaaannnnnnnnnnn再证：1112111nnaann原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法111111...3121211).)1(1)1(1()1(1...321211)1(1...3121)11(...)11()11(1122221322111nnnnnnnnnaaaaaaaannn这种常用的放缩手段用到了累差迭加法及子忆-4-11121221111)1(1])1(1[)1(11nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaanaaanaaanaana])1(1[)1(1)1(1)1(221212nanaanaanannnnnn.,)11)(1(1也易让学生接受的这种证法还是比较自然nannn.当2n时，11nanann2111)2)(1(1111nnnnaann.易验证当n=1时,上式也成立.综上,故有21)1(1112111naannnn成立.通过以上三例,我们发现通过递推公式,有的数列可以通过构造新数列的方法,构造出一个我们一个较熟悉的数列,从而求出通项公式,这也是一种化归能力的体现.有的数列题目虽不能求出通项公式,但我们可以研究其隐含的性质如单调性等来解决问题.放缩法虽然技巧性较强,但多数均是一些常用的放缩手段.此类问题考查了学生的灵活性与分析问题及运用知识解决问题的能力.也正为此,这种类型的题目越来越受到高考命题者的青睐.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m数列几种构造法解题数列的构造法，我这里仅仅表示的是n1a与na之间的常见关系，还有很多需要补充的。以下主要是以例题为主，表示不同类型的构造方法。1-n1-n1nn1n2qaa等比数列，a2a，1例.1-n2d）1n（aa等差数列，2a2.a例1nn1n子忆-5-12a化简可得2）1a（1a所以整体是等比数列1a，所以1x展开解得）xa（2xa构造等比数列1a2a。3例nn1-n1nnn1nn1n1-nn011-n1-nnn1nnnn1nnnn1101111n1nnnn1nnnnn1-n1nnnn1n1nnn1n2na所以n1）1-n（2a2a可以得到12a2a得到2同除以22aa）22-3a化简即可得32)32(）33a(33a即整体是等比数列33a。所以3x展开解得）3a（32x3a构造13a23a可以得到3首先同除以，间接构造2解2-3a所以2）3-a（3-a所以1x展开解得）3xa（23xa构造，直接构造法：1解32aa）1，4例nnnnnnnnnnx3n327an所以2）33a（33na即是等比数列，3n3a所以3t，3m展开解得），tmna（2t）1n（ma构造n3+2a=a，5例1-n1-n1nnn1nn1+n综合例6的通项公式。a，试求n3a2a，2a已知nnn1n1子忆-6-1n-23a所以22）113-a（1n3a所以1y，1x，1m展开化简依次可以解得）yxn3ma（2y）1n（x3ma解：构造1nnn1n1n11nnnn1n1n子忆-7-