高中数学同步课件：等比数列习题课

等比数列习题课2020年7月8日星期三•1.等比数列的定义：定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q来表示.2.等比数列的通项公式：an=a1qn–1.an=amqn-m复习回顾•3.等比数列的前n项和公式：1111(1).111.nnnnnqnaaqaqSSqqqSna当时，等比数列的前项和公式为：，或当时，4.递推公式(q为公比)：.,,,,32111nqaaaann•5.等比中项：,,(0).xGyGxyGxyxy定义：若成等比数列，那么把就叫做与的等比中项，且6.等比数列的一条性质：分别与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积.对任意m，n，p，qN*，当m+n=p+q时，有am·an=ap·aq.7.{an}为等比数列的两个充要条件：;,,,,;,,,,32132102211naaanqaannnnn其中②其中①8.,,,.aaaqq当三个数成等比数列，并知其积时，可设它们分别为这样便于求解例1在等比数列{an}中，a1=2，a7a8=80,求a14.解：因为{an}为等比数列，所以a1a14=a7a8..4028018714aaaa例题解析例2.（2009宁夏海南文）等比数列{an}的公比q0,已知a2=1,an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4=.解析:由an+2+an+1=6an得：qn+1+qn=6qn-1即q2+q-6=0，q0,解得：q＝2，，21)21(2144S152＝112a又a2=1所以，例3、已知数列{an}为等比数列，（1）若m，n，p成等差数列，求证am，an，ap成等比数列.（2）若a3=-2，a6=54，求a9.证明：（1）由所给条件，可得n–m=p-n.,mnmnmnqqaqaaa1111.npnpnpqqaqaaa1111.npmnaaaa所以，am，an，ap成等比数列.在一个等比数列中，项数成等差数列的各项所形成的数列仍然是等比数列.例3、已知数列{an}为等比数列，（1）若m，n，p成等差数列，求证am，an，ap成等比数列.（2）若a3=-2，a6=54，求a9.（2）由上题结论，a3，a6，a9成等比数列..145825423269aaa例4、设某个等比数列前4项的和为2，前8项的和为8，求前12项的和.解：设此数列的首项为a1，公比为q，若q=1，则4a1=2，8a1=8，此二式是矛盾的，故q1.)()()()(281112118141qqaqqa于是413,1.1qaq解得.)(])([)()(2631111133412112qqqaS•解法二：因为a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3,a5+a6+a7+a8=a1q4+a1q5+a1q6+a1q7,a9+a10+a11+a12=a1q8+a1q9+a1q10+a1q11.48812448SSSSSSS把S4=2，S8=8代入上式，即可求得S12=26.,48765121110943218765qaaaaaaaaaaaaaaaa注：由本例解法二我们可以发现等比数列的又一条性质：把等比数列从第一项起依次每相同数目的项相加所得到的数列仍然是等比数列.例5、数列{an}中，S1=1,S2=2,Sn+1-3Sn+2Sn-1(n≥2)试判断数列是否为等比数列，并求Sn．分析：(1)判断数列是否为等比数列的标准是是否为常数，∴应从条件Sn去向an转化．(2)Sn可通过什么与an联系?注意n=1的讨论．(3)错解：∴数列为等比数列，且公比为2，且*)(1Nnaann),1(),2(111nSanSSannn11320(2)(1)nnnSSSn112()(2)nnnnSSSS12(2)(3)nnaan111Sa对式(3)中n≥2你用了吗?正解：但∴数列{an}从第2项才开始为等比数列．1221)21(1nnnS为什么错了???)2(213423naaaaaann111211212SSSaa122)221(1nnnS例6、已知等差数列{an}的第二项为8，前十项的和为185，从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第2n项按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式和前项和公式Sn.1181045185adad解：153ad2322nnnba∴an＝3n＋2Sn=(3×2+2)+(3×22+2)+(3×23+2)+……+(3×2n+2)2(21)3221nn6226nn例7.设首项为正数的等比数列{an},它的前n项之和为80,前2n项之和为6560,且前n项中数值最大的项为54，求此数列.121180111656021nnaqqaqq解：由题意：182nq81nq代入(1)qqan18011∴{an}递增，∴前n项中数值最大的项应为第n项1111118154,nnnnnaqqqqqq11815427,3nnnqqqq123nna011qa得：1q例8．(2008全国Ⅱ理)设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*(I)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式；(II)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围．解:(I)依题意，即由此得因此，所求通项公式为①,311nnnnnSaSS,321nnnsS).3(2311nnnnSS.*,2)3(31NnaSbnnnn(II)由①知于是，当n≥2时，当n≥2时，又综上，所求的a的取值范围是*,,2)3(31NnaSnnn1nnnSSa2112)3(32)3(3nnnnaa.2)3(3221nna2112)3(34nnnnaaa],3)23(12[222ann,03)23(12,21aaannn.9a1123aaa).,9[(II)由①知.,,)(.,,)(.,,,}{qSaaaaqnSaaannn求已知求已知和公比求）已知（为等比数列，已知62381294091313369316114,;(2)22;31(3)1.2nqaqq答案：（）或练习1、2、数列{an}中，Sn=1+kan(k≠0,k≠1)(1)证明数列{an}为等比数列；(2)求通项an；(3)当k=-1时，求和a12+a22+···+an21(2)(1)nnnkak11(3)[1()]34n原式比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的灵活应用；特别注意当公比q为字母时一定要讨论它为1的情况；当一个数列不是等差或等比数列而又要求和时，一定要转化成等差或等比数列求和，注意分组求和.小结