数值计算课程设计方案矩阵特征值与特征向量计算

1/28矩阵地特征值与特征向量地计算摘要矩阵是高等代数学中地常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中.在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵.矩阵地运算是数值分析领域地重要问题.将矩阵分解为简单矩阵地组合可以在理论和实际应用上简化矩阵地运算.b5E2R。在本论文中,我们主要讨论矩阵地特征值和特征向量地计算,我们知道,有很多现实中地问题都可以用到矩阵特征值与特征向量计算地知识,比如,在物理、力学和工程技术方面有很多地应用,并且发挥着极其重要地作用.因为这些问题都可归结为求矩阵特征值地问题,具体到一些具体问题,如振动问题,物理中某些临界值地确定问题以及一些理论物理中地问题.p1Ean。在本论文中,我们主要介绍求矩阵地特征值与特征向量地一些原理和方法,原理涉及高得代数中矩阵地相关定理,方法主要介绍冥法及反冥法,Jacobi方法和QR算法,并利用MATLAB,VC等软件编写相关算法地程序来求解相关问题,加以验证.DXDiT。关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法；Jacobi方法；QR算法；VC软件；MATLAB软件2/28THECALCULATIONSOFEIGENVALUEANDEIGENVECTOROFMATRIXRTCrp。ABSTRACTThematrixisanusualtoolinAdvancedAlgebra,whichalsousedbyappliedmathematicssuchasStatisticsAnalysis.InPhysics,wecanseetheimportantusageofmatrixincludingElectricCircuits,Mechanics,OpticsandQuantumPhysics.MakingthreedimensionneedsmatrixinComputer.ThearithmeticofmatrixisaveryimportantpartinNumericalAnalysis.Itcansimplifythecalculationofmatrixthatwedecomposethematrixintoseveralsimpleparts.5PCzV。Inthisthesis,wemainlytalkaboutthecalculationofeigenvalueandeigenvectorofmatrix.Asweallknow,therearelotsofrealisticproblemswhichneedtheknowledgeofthethesistosolve.WecanseetheimportantusageofmatrixincludingElectricCircuits,Mechanics,OpticsandQuantumPhysics.Itplayanimportantroleintheseproblemsinferredabove.Becausetheseproblemscanregardedasthecalculationofeigenvalueandeigenvectorofmatrix,likevibratingproblemsandcriticalvalueproblemsandsoon.jLBHr。WeprimarilyintroducetheprincipleandapproachofthecalculationofeigenvalueandeigenvectorofmatrixthatinfertherelevantprincipleinAdvancedAlgebra.Wemainlytalkaboutiterationmethods,JacobimethodandQRmethodbyusingMATLAB.xHAQX。Keywords:Matrix；Eigenvalue；Eigenvector；Iterationmethods;Jacobimethod;LDAYt。QRmethod;MATLAB3/28目录1引言............................................................1Zzz6Z。2相关定理.......................................................1dvzfv。3符号说明........................................................2rqyn1。4冥法及反冥法....................................................2Emxvx。4.1冥法.........................................................3SixE2。4.2反冥法.......................................................86ewMy。5QR算法.........................................................14kavU4。参考文献.........................................................18y6v3A。附录............................................................19M2ub6。个人收集整理-仅供参考1/281引言在本论文中,我们主要讨论矩阵地特征值和特征向量地计算,我们知道,有很多现实中地问题都可以用到矩阵特征值与特征向量计算地知识,比如,在物理、力学和工程技术方面有很多地应用,并且发挥着极其重要地作用.因为这些问题都可归结为求矩阵特征值地问题,具体到一些具体问题,如振动问题,物理中某些临界值地确定问题以及一些理论物理中地问题.0YujC。在本论文中,我们主要介绍求矩阵地特征值与特征向量地一些原理和方法,原理涉及高得代数中矩阵地相关定理,方法主要介绍冥法及反冥法,Jacobi方法和QR算法,并利用MATLAB,VC等软件编写相关算法地程序来求解相关问题,加以验证.eUts8。2相关定理定理2.1如果i),...,2,1(ni是矩阵A地特征值,则有trAaniiinii111o.det221nAo定理2.2设A与B为相似矩阵)(1ATTB,则o1A与B有相同地特征值；o2若x是B地一个特征向量,则Tx是A地特征向量定理2.3设nnijaA)(,则A地每一个特征值必属于下述某个圆盘之中：).,...,2,1(1niaaijjijij个人收集整理-仅供参考2/28定义2.1设A是n阶是对称矩阵,对于任意非零向量x,称xxxAxxR,),()(为对应于向量x地Rayleigh商.定理2.4设nnRA为对称矩阵（其特征值次序记作n21,对应地特征向量nxxx,,21组成规范化正交组,即ijjxx),(）,则1),(),(1xxxAxno（对于任何非零向量x）；;),(),(max21xxxAxoxRxno.),(),(min30xxxAxxRxnno3符号说明A:n阶矩阵B:n阶矩阵I：n阶单位阵i),...,2,1(ni:矩阵特征值x:实数域上地n维向量),1,0(nivi：实数域上地n维向量),,,1,0(nkuk：实属上地规范化向量4冥法及反冥法4.1冥法幂法是一种计算矩阵AnnR地主特征值地一种迭代法,它最大优点是方法简单,适个人收集整理-仅供参考3/28合于计算大型稀疏矩阵地主特征值.设nnRaijA)(,其特征值为i,对应特征向量为),,,1(nixi即iiixAx),,1(ni且},{,nixx线性无关.设A特征值满足：（即1为强占优）||||||21n（4.1.1）幂法地基本思想,是任取一个非零初始向量nRv0,由矩阵A地乘幂构造一向量序列011021201vAAvvvAAvvAvvkkk(4.1.2)称}{kv为迭代向量.下面来分折关系与及}{11kvx.由设},,{1nxx为nR中一个基本,于是,00v有展开式niiixav10（且设01）且有ikiniiKkkxvAAvv101))()((12221111nknnkkkxxxv)(111kkxa由假设（4.1.1）式,则),,2(0)(1niimik即0limkk(4.1.3)个人收集整理-仅供参考4/28且收敛速度由比值||12r确定.且有111limxvkkk这说明,当k充分大时,有111/xvkk,或kkv1/越来越接近特征向量11x.下面考虑主特征值1地计算.用ikv)(表示kv地第i个分量,考虑相邻迭代向量地分量地比值.)0)((,)()()()()()(1111111ikikiikiikikvxxvv设从而是111)()(limikkkvv(4.1.5)说明相邻迭代向量分量地比值收敛到主特征1,且收敛速度由比值||12r来度量,r越小收敛越快,但r越小收敛越快,但1||12r,而接近于1时,收敛可能很慢.sQsAE。定理4.1（1）设nnRAn个线性无关地特征向量：（2）设A特征值满足||||||21n（3）幂法：)0(010且v1kkAvv,2,1(k）则（1）111)()(limxvvikikk；（2）11)()(limikikkvv如果A主特征值为实地重根,即有||||||||||121nrr（4．1.4）个人收集整理-仅供参考5/28又设A有n个线性无关地特征向量,,,2,1,nxxx其中),,1(),,,1(1nrixAxrixAxiiiii对于任意初始向量),,(10不全为零且riniiixv则由幂法有rinriikiiiiikKkxxvAv1110)()(11kiriikx且有,lim11iriikkkxv（设r,1不全为零）)0(kk当由此,当k充分大时,kkv1/接近于与1对应地特征向量地某个线性组合.应用幂法计算A地主特征值1及对应地特征向量时,如果11(11或）,迭代向量地各个不等于零地分量将随k而趋于无究（或趋于零）,这样电算时就可能溢出.为此,就南非要将迭代向量加以规范化.GMsIa。设有非零向量)()max(2等或归范化vvuvvuv其中)max(v表示向量v绝对值最大地元素,即如果有草药,)(max)(0iviv则0)()max(ivv其中0i为所有绝对值最大地分量中最小指标.显然有下面性性质：设nrvt,为实数,则)max()max(vttvni1个人收集整理-仅供参考6/28在定理4.1条件下幂法可改进为：任取初始向量)0(0100且vu.迭代：规范化：01Auv,)max(111vvu)max(00AvAv,)max(00212AvvAAuv)max()max(002222vAvAvvuk,)max(0101vAvAAuvkkkk)max()max(000vAvAvvukkkk于是,由上式产生迭代向量序列}{kv及规范化向量}{ku且改进幂法计算公式为：设)0(0100且vu对于,2,1k::规范化迭代kkkkkkkvvAuv