函数的奇偶性与周期性复习课件

•考纲解读•1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；•2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性；•3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．•考向预测•1．函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点．•2．常与函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考查．要点梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性.(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数，一个偶函数的积是.相同相反奇函数偶函数奇函数3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小[难点正本疑点清源]1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域是解决函数问题的先决条件。②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(3)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．题型分类深度剖析题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.思维启迪确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．解(1)由3－x2≥x2－3≥0，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由1－x1＋x≥1＋x≠0，得－1x≤1.∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由4－x2≥|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x.∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．探究提高判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．分段函数:指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．基础自测1．下列函数中，所有奇函数的序号是________．(1)f(x)＝2x4＋3x2；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝x2＋1x；(4)f(x)＝x3＋1.解析由奇偶函数的定义知：(1)为偶函数；(2)(3)为奇函数；(4)既不是偶函数，也不是奇函数．(2)(3)2．若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.解析f(－x)＝12－x－1＋a＝2x1－2x＋a，f(－x)＝－f(x)⇒2x1－2x＋a＝－12x－1＋a⇒2a＝11－2x－2x1－2x＝1，故a＝12.点评不少同学想到了f(0)＝0.本题行吗？注意f(x)在x＝0处无意义，所以f(0)＝0是不成立的．12题型二函数的奇偶性定义的使用函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(3)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13＋0＝13.B题型三利用函数的奇偶性与单调性求解析式例21.已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；分析问题：f(x)是一个分段函数，由x0的解析式出发．根据奇偶性特性，当x0时，转化为f(x)＝－f(－x)．解∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，当x0时，－x0，由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)．∴f(x)＝－x2－x＋1..)0(12)0(0)0(12)(xxxxxxxxf3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是________________________．解析画草图，由f(x)为奇函数的性质知：f(x)0的x的取值范围：(－1,0)∪(1，＋∞)．(－1,0)∪(1，＋∞)探究提高(1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(3)奇函数f(x)在x＝0处有意义，一定有f(0)＝0.但是在用f(0)＝0求出参数后，要注意验证．(4)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．在应用特殊值求参数时，求出参数后要注意验证．1.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(9)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的函数．∴f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)．∵f(x＋2)＝－f(x)，令x＝－1，得f(1)＝－f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，∴f(9)＝0.B题型四函数的奇偶性与周期性探究提高判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)等于()A．－2B．2C．－98D．98解析∵f(x)的周期T＝4，∴f(2011)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.A思想方法感悟提高方法与技巧1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f－xfx＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．失误与防范1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．返回