3.2.3直线与平面的夹角(用)

1、斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角AOB一、线面角当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是90°当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是0°斜线与平面所成的角（0°,90°）直线与平面所成的角〔0°,90°〕异面直线所成的角（0°,90°〕若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为。60°ABO2、最小角原理AOBM斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。AOBM如图,直线OA与平面所成的角为1,平面内一条直线OM与OA的射影OB所成的角为2,设∠AOM为求证:cos=cos1×cos23、斜立平公式若直线l1与平面所成的角为60°，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为，最大的角为。90°60°Ol1SACBOFE如图，ACB=90，S为平面ABC外一点，SCA=SCB=60，求SC与平面ACB所成的角42nBA，直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,设平面的法向量为，则与的关系？nnBA思考：结论：sin|cos,|nAB二、线面角的求法：nnBAAB2nBA，例1：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(000)A，，，1(101)B，，，(110)C，，，设正方体棱长为1，1ABADAA，，为单以1(101)(110)ABAC，，，，，1(111)C，，，11(010)BC则，，，1()ABCnxyz设为，，平面的法向量100nABnAC则，0=10==-1xzxyn=(1-1-1)，，，，，，xyz所以取得故位正交基底，可得110103cos313nBC，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC例2如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。045ABC3.SABCSABCDOxyz2SABDOC02222452BCOBABABCOA则由得，又，，得证明：(1)取BC中点O，连接OA、OS。090AOBAOBC即SBCABCDAOABCDSBCABCDBCAOSBC又平面平面，平面且平面平面，平面231AOSOAO=SASO。又，，22202390OBSBSBSOOBSOB又，，BCSOBCAOSOAOOBCSOABCSA，，平面，(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。(1)SOOABCOAOBOS解：由知，，两两垂直。故以、、为正交基底建立空间直角坐标系如图。则SABCOxyzD(001)(2-220)(200)(020)SDAB，，，，，，，，，，，，(2221)(201)(021)SDSASB，，，，，，，，()SABnxyz设平面的一个法向量为，，，则2000220xznSAnSBzyz，得取得(112)SABn平面的一个法向量为，，，则22cos11SDn，所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为2211例3、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。(1)证明：PA//平面EDB；(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点DADCDP以，，为正交基底建立空间直角坐标系。如图所示。则(000)(001)(100)(010)(110)DPACB，，，，，，，，，，，，，，(101)PA，，11(0)22EPCE又为中点，点坐标为，，11(0)22GBDG为中点，点坐标为，，11(0)22EG，，2////PAEGPAEGPAEGPAEG可得。因为与不共线，所以//PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(000)(001)11(110)(0)22DPBE由知，，，，，，，，，，，PDABCDPDABCD解：因为平面，所以是平面的法向量。11(001)(1)22PDEB，，，，，10062cos6312PDEB，所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为66所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为55小结：1.异面直线所成角：cos|cos,|ab2.直线与平面所成角：sincos,nAB||ABCD1DABOnaban