初中数学新定义运算题解析

1初中数学新定义运算题解析福建省泉州市永春吾峰中学张锦汉一、说知识点：本节的知识点部分是华师大版《数学》八年级下册第16章第17页的阅读材料，属于一种新定义运算题，在中考、竞赛中经常出现，能较全面地考查学生解决问题的能力。二、说目标：新定义运算作为新课标所引来的一种新题型，根据课程标准的要求，结合学生实际特征，通过观察和动手操作，经历和体验变化过程，培养实验操作的能力，主动探究，敢于实践，勇于发现，合作交流。三、说教法：数学是一门培养人的思维活动的课程。要使学生“知其然，知所以然”。体现知识的认知规律，对于新定义运算题，我由华师大版《数学》八年级下册第16章第17页的一小段阅读材料，引申出了新定义运算的三种类型，定义一种新法则;定义一种新数;定义一种新图形。一一举例说明，并引适当的中考题，加以比较。四、说学法：数学做为基础教育的核心课程之一，转变学生的学习方式，不仅有助于提高学生的数学素养，还有助于培养学生整体学习方式的转变。本课我注重探索研究的学习方式，根据认知水平，以及十几年的教学经验，根据往年的中考出题习惯，以华师大版《数学》八年级下册第16章第17页的阅读材料，引出中考新定义运算的几种常见类型，并讲解试题的分析过程，解决过程，试题的变式分析，试题的价值及反思，五、说过程：新定义运算的特点是给出新的一种定义，再提出新的问题，通过实验、探究、猜想、在新概念下解决新的问题。新定义运算的几种常见类型：（1）定义一种新法则;（2）定义一种新数;（3）定义一种新图形。本次说课主要是通过定义一种新法则;定义一种新数;定义一种新图形;三种为主线一一阐述，具体如下：类型一：定义一种新法则例1：华东师范大学出版的《数学》八年级下册第16章第17页的一点内容：你知道吧吗？Thesymbol5!iscalledfivefactorial(阶乘)andmeans5·4·3·2·1；thus5!=120.What’stheresultof!)!1(nn？Doyouknow?2【学找切入点】5!=5×4×3×2×1，引伸到（n-1）!，n!【解】由于n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1;（n-1）!=（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1所以!)!1(nn=123321123321nnnnnnn=1n【拓展延伸】课本只给出了，5!=120.在解决这个问题，在上课的过程中我先引入如下的例题：先问学生2!、3!、4!、5！各个值是多少？后书写如下的例题并做适当的延伸。例2：规定：2!=2×1；3!=3×2×1；4!=4×3×2×1，…，n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1，即称n!为n的阶乘．（1）计算：！！35；（2）计算：=；（3）计算：!)!1(nn=；（4）当x=6是一元二次方程的一个根，求k的值．【答案】（1）20，（2）9900，（3）n1（4）k=310【分析】（1）由于n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1分别求出5!和3!，然后即可求解；（2）由于n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1分别求出100!和98!，然后即可求解；(3)由于（n-1）!=（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1;n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1;然后即可求解；(4)首先先求出8!，6!然后把x=7当然方程计算即可求出k．解答：（1）依题意得！！351231234520（2）依题意==9900；（3）由于n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1;（n-1）!=（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1所以!)!1(nn=123321123321nnnnnnn=1n（4）把x=6代入得，62+6k﹣56=0，∴6k=20，∴k=310．【命题意图】出这个题的目的是，结合基础知识，考查数学思维方法。循序渐进，发展学生的应用意识。【试题的价值及反思】试题能多方位的考查学生，各方面的综合运用能力。解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的规律计算即可求解．此题主要考查了数字变化的规律，也考查了一元二次方程的解。新定义运算中的定义一种新的规则是中考的一个考点，一个亮点。3【变式题组】1.已知：3212323C，1032134535C，154321345646C，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算410C．【变式分析及解答】410109872101234C【试题的价值及反思】考查学生分析解决问题的能力，在较短的时间内通过阅读来解决问题。类型二：定义一种新数例3：当任意一对数,ab进入其中时，会得到一个新数：221ab，例如把（1，﹣2）放入其中，就会得到12+2×（﹣2）﹣1=﹣5．现将一对数（﹣3，﹣1）放入其中，得到的数是（）．【学找切入点】3,1ab代入221ab求解【解】把（-3，-1）代入221ab=232119216【答案】6【命题意图】考查学生的有理数平方的运算，特别是这个有理数是负数时的注意事项。【试题的价值及反思】新定义运算中的定义一种新的规则是中考的一个考点。能够考查学生的阅读能力和解决问题的能力，并能进行认真的计算。【变式题组】2.（2012，南平中考）设x表示大于．．x的最小整数，如3＝4，2.1＝－1，则下列结论中正确．．的是．（填写所有正确结论的序号）①00；②()[)fxxx的最小值是0；③()[)fxxx的最大值是1；④存在实数x，使()[)fxxx＝0.5成立.【变式分析】解：①[0）=1，故本项错误；②[x）-x＞0，但是取不到0，故本项错误；③[x）-x≤1，即最大值为1，故本项错误；④存在实数x，使[x）-x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．故答案为④．类型三：定义一种新图形例4：如下图由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，下列属于三角形数的是（）（A）75（B）65（C）60（D）55【学找切入点】根据所给的图中的三角形数的数值，可以得到第n个图的三角形数的个数是12nn，再利用此公式进行计算。4【解】第1个图的数是1，第2个图的数是3，第3个图的数是6，第4个图的数是10，…第n个图的数是12nn，所以第10个图的数是1011552。【答案】D【命题意图】考查学生观察图形，得出规律，并能准确地运用规律，得到答案。【试题的价值及反思】本题主要考查的是数字的变化，图形的变化，学生应该通过观察、分析、得到规律，再通过发现的规律来解决问题。在中考中有着很强的实际考查作用。【变式题组】3.如下图图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（A）15（B）25（C）55（D）1225【变式分析】本变式题组，除了三角形数，还有正方形数，难度明显加大了。在解决本题中，除了要分析三角形数的第n个图的数是12nn，正方形数的第n个图的数是2n。2149501225,3512252，所以选择D.【变式题组】4.（2007，泉州中考）图（1）是一个黑色的正三角形，顺次连结它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形．如此继续下去，则在得到的第6个图形中，白色的正三角形的个数是．121图（1）图（2）图（3）……5【变式分析】根据图形，探索可以得到后一个三角形中白三角形的个数=前一个三角形的白三角形个数+前一个三角形的黑三角形个数．解：设白三角形x个，黑三角形y个，则：n=1时，x=0，y=1；n=2时，x=0+1=1，y=3；n=3时，x=3+1=4，y=9；n=4时，x=4+9=13，y=27；n=5时，x=13+27=40，y=81；当n=6时，x=40+81=121．所以白的正三角形个数为：121【试题的价值及反思】本题为开放性题，让学生寻找规律，难度较大，是一道非常典型的中考题。在中考中经常类似出现。【变式题组】5.（2008，泉州中考）四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形的中点四边形），再顺次连结四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，……，则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于_____________。116【变式分析】本变式题组,结合图形找规律，第2，4，6，8个中点图形为菱形，第1个菱形的边长为12，第2个菱形的边长为14，第3个菱形的边长为18，第4个菱形的边长为116，…第n个菱形的边长为12n，所以第8个菱形的边长为116116【试题的价值及反思】本题为开放性题，让学生先画图形，再根据图形来找规律，巧妙考查了中考中有关菱形的性质和三角形的中位线。思维发散，是个不可多得的好题。新定义运算中的定义一种新的图形是中考的一个考点，一个亮点。以上是我对《初中数学新定义运算题解析》一课的说课，不当之处请各位评委、老师批评指正，谢谢。