不动点定理及其应用

不动点定理及其应用摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.关键词不动点;不动点定理;Banach空间FixedPointTheoremsandItsApplicationsAbstractThefixedpointtheoremisoneofimportanttoolsinstudyingtheexistenceanduniquenessofsolutiontofunctionalequation.Inthispaper,thefixedtheoreminlinearfunctionalanalysisanditsapplicationsareintroducedandthecorrespondingexamplesaregiven.Meanwhile,theBrouwerandLeray-Schauderfixedpointtheoremsarealsoinvolved.KeyWordsFixedpoint,Fixedpointtheorem,BanachSpace1不动点定理及其应用0引言在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论[1-3].而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具.下面给出不动点的定义.定义0.1设映射XXT:,若Xx满足xTx,则称x是T的不动点.即在函数取值的过程中,有一点Xx使得xTx.对此定义,有以下理解.1）代数意义：若方程xTx有实数根0x,则xTx有不动点0x.2）几何意义：若函数xfy与xy有交点00,yx则0x就是xfy的不动点.在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容.对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.1Banach不动点定理及其应用1.1相关概念首先介绍本文用的一些概念.定义1.1.1[3]设X为距离空间,nx是X中的点列,若对任给的0,存在0N,使得当Nnm,时,nmxx,.则称点列nx为基本点列或Cauchy点列.2如果X中的任一基本点列均收敛于X中的某一点,则称X为完备的距离空间.定义1.1.2[3]定义在线性空间上的映射统称为算子.定义1.1.3[3]给定距离空间,X及映射T:XX,若Xx满足xTx，则称x是T的不动点.1.2Banach不动点定理定理1.2.1[3]设X是完备的距离空间，距离为.T是由X到其自身的映射，且对任意的Xyx,,不等式,,TxTyxy成立,其中是满足不等式01的常数.那么T在X中存在唯一的不动点.即存在唯一的Xx,使得xxT.证明在X中任意取定一点0x,令01Txx，12Txx，…，nnTxx1，…首先证明nx是X中的一个基本点列.因为00101021,,,,TxxxxTxTxxx；002212132,,,,TxxxxTxTxxx；………………………于是001,,Txxxxnnn，,3,2,1npnpnnnnnpnnxxxxxxxx,,,,12110011,Txxpnnn0000,1,11TxxTxxnpn.又10,故,0nn即nx是基本点列.由于X完备,所以由定义1.1.13知nx收敛于X中某一点x.另外,由,,TxTyxy知,T是连续映射.在nnTxx1中,令,n得xxT,因此x是T的一个不动点.下面证明唯一性.设另有y使yTy,则,,,,yxyTxTyx考虑到10,则有,0,yx即yx.定理1.2.2[3]设T是由完备距离空间X到其自身的映射,如果存在常数:1o以及自然数0n使得00(,)(,)nnTxTyxy(,)xyX1那么T在X中存在唯一的不动点.证明由不等式1,0nT满足定理1.2.1的条件,故0nT存在唯一的不动点0x.现在证明0x也是映射T唯一的不动点.事实上00010000()()()nnnTTxTxTTxTx可知,0Tx是映射0nT的不动点.由0nT不动点的唯一性,可得00Txx,故0x是映射T的不动点.若T另有不动点1x,则由0001111111nnnTxTTxTxTxx知1x也是0nT的不动点.仍由唯一性,可得10xx.1.3Banach不动点定理的应用1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用例1.3.1.1给定积分方程dssxstKtftxba,2其中tf是ba,上的已知连续函数,stK,是定义在矩形区域bsabta,上的已知连续函数,证明当足够小时（是常数）,2式在ba,上存在唯一连4续解.证明在baC,内规定距离1212,maxatbyyyxyx令dssxstKtftTxba,则当充分小时,T是babaCC,,的压缩映射.因1212,maxatbTxTxTxtTxt121212max,max,,,batbabatbaKtsxsxsdsKtsxsxsdsMxx其中max,batbaMKtsds,从而当1M时,T是压缩映射,则由定理1.2.1知方程对于任一baCtf,解存在并且唯一.例1.3.1.2考虑微分方程初值问题,,,00yyyxfdxdyxx3其中2RCf,且yxf,关于y满足Lipschitz条件,即存在0L使'',,yyLyxfyxf，Ryyx',,4则初值问题3在R上存在唯一解.证明微分方程(3)等价于积分方程dttytfyxyxx0,0，5取0,使.1L在00,xxC上定义映射,,00dttytfyxTxx则由(4)式得TT=000max,,xxxxxfttfttdt000maxxxxxxLttdt,L00,,xxC，已知1L,故由定理1.2.1知存在唯一的连续函数,,000xxC使,00T即dtttfyxxx0000,，且x0在00,xx上连续可微，且xy0就是微分方程2在00,xx上的唯一解.1.3.2在数列求极限中的应用由定理1.2.1的证明可知,若f是ba,上的压缩映射,则对bax,1,由递推公式nnxfx1确定的数列nx收敛,且nnxxlim0为f的唯一不动点.例1.3.2.1[5]证明：若xf在区间raraI,上可微,1axf且raaaf1，任取Ix0.令nnxfxxfxxfx11201,,,,则**lim,nnxxx为方程xfx的根（即*x为xf的不动点）.证明已知Ix0,设Ixn则aafaxfaafafxfaxnnn'1（),(axn）6由已知得rraaraxn11即Ixn1,从而得知,一切Ixn.由微分中值定理,存在在nx与1nx之间,即I使得10,11'11axxaxxfxfxfxxnnnnnnnn.这表明nnxfx1是压缩映射,所以nx收敛.又因xf连续.在nnxfx1里取极限知nx的极限为xfx的根.例1.3.2.2[9]设;3,2,22,1,0,2121nxaxaaxnn求证数列nx收敛并求其极限.证明易知20axn.则我们在区间2,0a上考虑函数222xaxf,对2,0,21axx有21212122122122122xxaxxxxxxxfxf1,0a.即xf是2,0a上的压缩映射.从而nx收敛于方程的解.设22020xax得110ax.1.3.3在数学建模中的应用不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点”.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定理会使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.引理1.3.3.1[6-7]设xf在ba,上连续，且bfaf,异号,则xf在ba,内至少存在一点c使得0cf.7定理1.3.3.2[6-7]设xf是定义在ba,上的连续函数,其满足bxfa，则在ba,上至少存在一个不动点0x,即00xxf.例1.3.3.1日常生活中常有这样一个经验：把椅子往不平的地面上放,通常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.模型假设：对椅子和地面做一些假设：1）椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形.2）地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现间断点（没有像台阶那样的情况）.即地面可视为数学上的连续曲面.3）对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.4）椅子转动时中心不动.模型分析：在图1中椅脚连线为正方形ABCD,对角线AC与x轴重合,椅子绕中心点O旋转角度后,正方形ABCD转至DCBA的位置,所以对角线AC与x轴夹角表示了椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量的函数.设f为CA,两脚与地面距离之和，g为DB,两脚与地面距离之和.由假xO'A'B'C'DABCD8设2）知,f和g都是连续的函数.由假设3）,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的，f和g中至少有一个为零.即fg=0，当0时不妨设0,0fg.从而数学问题就转化为求证存在0,使000gf,20.模型求解：令.gfh因0222,0000gfhgfh.则由定理1.3.3.2知,必存在,2,00使,00h即000gf.1.3.4在解线性方程组中的应用例1.3.4.1[1]设有线性方程组bCxx其中ijcC是nn方阵，Tnbbbb,,,21是未知向量,证明：若矩阵C满足1sup1,1,2,,nijijcin