含参不等式的解法举例

第1页（共6页）含参不等式专题（淮阳中学）编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。一、含参数的一元二次不等式的解法：1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0）例1、解关于x的不等式0)1(2axax。解：0)1)((2xax1,0)1)((xaxxax令为方程的两个根（因为a与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当1a时，不等式的解集为}1|{axxx或（2）当1a时，不等式的解集为}1|{xaxx或（3）当1a时，不等式的解集为}1|{xx综上所述：（1）当1a时，不等式的解集为}1|{axxx或（2）当1a时，不等式的解集为}1|{xaxx或（3）当1a时，不等式的解集为}1|{xx变题1、解不等式0)1(2axax；2、解不等式0)(322axaax。第2页（共6页）小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。例2、解关于x的不等式022kkxx分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解)8(82kkkk(1)当02,08,02kkxxkk方程时或既有两个不相等的实根。所以不等式的解集是022kkxx：4)8(4)8(kkkxkkkx(2)当02,0802kkxxkk方程时或即有两个相等的实根，所以不等式4022kkkxx的解集是，即}0{2，；(3)当02,08,02kkxxk方程时即无实根所以不等式的022kkxx解集为。说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。小结：讨论，即讨论方程根的情况。2．二次项系数含参数（先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑0）例3、解关于x的不等式：.01)1(2xaax解：若0a，原不等式.101xx若0a，原不等式axxax10)1)(1(或.1x若0a，原不等式.0)1)(1(xax)(第3页（共6页）其解的情况应由a1与1的大小关系决定，故（1）当1a时，式)(的解集为；（2）当1a时，式)(11xa；（3）当10a时，式)(ax11.综上所述，当0a时，解集为{11xaxx或}；当0a时，解集为{1xx}；当10a时，解集为{axx11}；当1a时，解集为；当1a时，解集为{11xax}.例4、解关于x的不等式：.012axax解：.012axax)(（1）0a时，.01)(Rx（2）0a时，则0042aaa或4a，此时两根为aaaax2421，aaaax2422.①当0a时，0，)(xaaaa242aaaa242；②当04a时，0，Rx)(；③当4a时，0，21)(xRx且；④当4a时，0，)(或aaaax242aaaax242.综上，可知当0a时，解集为(aaaa242,aaaa242)；当04a时，解集为R；第4页（共6页）当4a时，解集为(21,)(,21);当4a时，解集为(aaaa24,2)(,242aaaa).例5、解关于的x不等式2(1)410()mxxmR分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+10及m+10来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m－1时，⊿=4（3－m）0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1m3时，⊿=4（3－m）0,图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时，⊿=4（3－m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410xx的根。⑷当m3时，⊿=4（3－m）0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。解：11,|;4mxx当时原不等式的解集为132132|,31132132|1);34014)1(12mmxmmxmmmxmmxxmmxxmm原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为21|xx；当m3时,原不等式的解集为。小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于x的不等式)0(,04)1(22axaax思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。第5页（共6页）二、含参数的分式不等式的解法：例1：解关于x的不等式0212xxax分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax－1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于0)1)(2)(1(xxax当a=0时，原不等式等价于0)1)(2(xx解得21x，此时原不等式得解集为{x|21x}；当a0时,原不等式等价于0)1)(2)(1(xxax,则：当,21时a原不等式的解集为21|xxx且；当0,21时a原不等式的解集为211|xaxx或；当,21时a原不等式的解集为211|xaxx或；当a0时,原不等式等价于0)1)(2)(1(xxax，则当1a时,原不等式的解集为12|xxx且；当01a时,原不等式的解集为211|xaxx或；当1a时,原不等式的解集为211|xaxx或；小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略a=0的情况以及对a1，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。第6页（共6页）牛刀小试：解关于x的不等式)1(,12)1(axxa思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数a分两级讨论：先按a1和a1分为两类，再在a1的情况下，又要按两根12aa与2的大小关系分为100,0aaa和三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解，其共同点是二次项系数含参数，故需对二次项系数的符号进行讨论.练习：1.解关于x的不等式0)2)(2(axx2.解关于x的不等式：.0)2(2axax