中考复习专题-二次函数应用题

二次函数的应用中考复习专题2.顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）1.一般式y=ax2+bx+c（a≠0）3.交点式y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）二次函数的三种解析式练习1：已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？解：∵周长为12cm,一边长为xcm,∴另一边为（6－x）cm解:由韦达定理得：x1＋x2＝2k，x1•x2＝2k－1=(x1＋x2)2－2x1•x2＝4k2－2(2k－1)＝4k2－4k＋2＝4(k－)2＋1212221xx21∴当k＝时，有最小值，最小值为１2221xx∴y＝x（6－x）＝－x2＋6x（0x6）＝－(x－3)2＋9∵a＝－10,∴y有最大值当x＝3cm时，y最大值＝9cm2，此时矩形的另一边也为3cm答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。练习2、已知x1、x2是一元二次方程x2－2kx＋2k－1＝0的两根，求的最小值。2221xxnext思考：有没有另外求最值的方法？例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃宽为（24－4x）米(3)∵墙的可用长度为8米(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）32ababac442∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0x6）∴024－4x≤64≤x6∴当x＝4cm时，S最大值＝32平方米例2：水果批发商销售每箱进价为４０元的长寿湖夏橙，市场调查发现，若以每箱6０元的价格销售，平均每天销售30０箱，价格每提高１元，平均每天少销售10箱．（1）求平均每天销售量y箱与销售价x之间的函数关系式；（2）要想获得6000元的利润则长寿湖夏橙的定价应是多少？（3）当每箱长寿湖夏橙的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4）若每降价1元，每天可多卖出18件，如何定价才能使利润最大？列表分析1:总售价-总进价=总利润设每件售价x元，则每件涨价为（x-60)元总售价=单件售价×数量总进价=单件进价×数量利润列表分析2:总利润=单件利润×数量总利润=单件利润×数量利润x[300-10(x-60)]40[300-10(x-60)]6000(x-40)[300-10(x-60)]6000问题3在这个问题中，总利润是不是一个变量？如果是，它随着哪个量的改变而改变？若设每件售价为x元，总利润为W元。你能列出函数关系式吗？解：设每箱售价为x元时获得的总利润为W元.w=(x-40)[300-10(x-60)]=(x-40)(900-10x)=-10x2+1300x-36000=-10(x2-130x)-36000=-10［(x-65)2-4225)-36000=-10(x-65)2+6250(40x90)当x=65时，y的最大值是6250.答：定价为65元时，利润最大为6250问题4在问题3中已经对涨价情况作了解答，定价为65元时利润最大.降价也是一种促销的手段.请你对问题中的降价情况作出解答.若设每件降价后售价为x元,则降价为（60-x）元，此时的总利润为y元y=(x-40)[300+18(60-x)]=(x-40)(1380-18x)=-18x2+2100x-55200答:综合以上两种情况，定价为65元可获得最大利润为6250元.最大值2100350当时，60502(18)6xy?一座拱桥的示意图如图，当水面宽4m时，桥洞顶部离水面2m。已知桥洞的拱形是抛物线，（1）求该抛物线的函数解析式。（2）若水面下降1米，水面宽增加多少米？例3：探究活动:M2mAB4m首先要建立适当的平面直角坐标系你认为首先要做的工作是什么?ABMxyo解法一：（1）以水面AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。设抛物线的解析式为：y=ax2+c(a≠0)抛物线过（2，0），（0，2）点4a+c=0a=-0.5即解析式为：y=-0.5x2+2c=2c=2（2）水面下降1米，即当y=-1时-0.5x2+2=-1解得x1=-√6x2=√6CD=︱x1-x2︳=2√6水面宽增加CD-AB=（2√6-4）米CD1m(-2,0)(2,0)(0,2)平面直角坐标系建立的不同，所得的抛物线的解析式相同吗？最终的解题结果一样哪一种取法求得的函数解析式最简单？解法二：（1)以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。设二次函数的解析式为y=ax2(a≠0）抛物线经过点（2，-2），可得，a=-0.5抛物线的解析式为：y=-0.5x20xyhA(-2,-2)B(2,-2)CD（2）水面下降1米，即当y=-3时-0.5x2=-3解得x1=-√6x2=√6CD=︱x1-x2︳=2√6水面宽增加AB-CD=（2√6-4）米1m(X1,-3)(X2,-3)试一试：如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD,这时水面宽为10米。（1）求抛物线型拱桥的解析式。（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到拱桥顶？（3）若正常水位时，有一艘宽8米，高2.5米的小船能否安全通过这座桥？AB20mCD练一练：如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），求该抛物线的解析式。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外。y=－(x-1)2+2.252.5YOxB(1,2.25)．(0,1.25)A例4：心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系（04黄冈）224100(010)240(1020)7380(2040)tttyttt（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？试画出函数图象，（分段函数)例:5：有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时的市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q与x的函数关系式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润＝销售总额－收购成本－费用）？增大利润是多少？例6:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。(1)设AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；(2)当AP的长为何值时，S△PCQ=S△ABC解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等当P在线段AB上时21S△PCQ＝CQ•PB21=AP•PB)2(21xx=∴AP=CQ=x即S＝(0x2）xx221动画演示DACBPQ当P在线段AB的延长线上时S△PCQ＝21)2(21xxPBCQxx221即S＝(x2）DACBPQ(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有①＝２xx221②＝２xx2210422xx∴x1=1+,x2=1－(舍去)55∴当AP长为1+时，S△PCQ＝S△ABC5此方程无解