立几思维训练目标转化

第1页共3页ABCDPEFG立几思维训练——目标转化，尝试探求法东莞市华侨中学谭银峰【摘要】：本文从分析法与认知心理学角度出发，探索立体几何问题解决策略【关键词】：目标转化；尝试探索同学们一见立体几何就会发懵，如果能想到“怎样找到解题的思路”？“你为什么会想到这种方法”？“你是怎样想到的”？说明学生大脑处在一种积极的思考探索中，这时若老师因势导利、合理引导并让学生付之实践，学生的思维和能力都会得到长足提高，不断的探索与反思中促进学生走向成功的彼岸。这些问题实际上就是怎样探索解题思路的问题。波利亚在论著《怎样解题》中进行了理性的思考并提供了行之有效的方法和措施。其中“怎样解题表”将解题程序化分为四个过程：①弄清问题。也就是明白“求解题”的未知是什么？已知是什么？条件是什么？“求证题”的条件是什么？结论是什么？也就是我们常说的审题。②拟定计划。找出已知与未知的直接或者间接联系。在弄清题意的基础上，从中捕捉有用的信息，并及时提取记忆网络中的有关信息，再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合，从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。③执行计划。以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来，同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。④回顾。对所得的结论进行验证，对解题方法进行总结，对思路策略进行归纳，对心路历程进行回顾而进行经验积累，为今后解决新问题提供理论依据与实践基础。学生在教科书或资料的例题学习中，只能看到最终的解答，而隐含在解答背后的思考过程和心路历程则是看不见的，也就是没有体现解答人的探索过程。这就是学生学习的困难所在。正如波利亚所说“拟定计划往往是不容易的，而执行计划要容易得多，我们所需要的主要是耐心”，其实说明了探索思路是解决问题的关键和难点。因此，在我们的教学过程中，教师应引导学生自己独立的探索出解题思路，学生自己独立的探索过程，自然的、积极的将原有的知识、方法、思维等图式拓展为更丰富、有序、高效的图式的过程。本人根据多年的立体几何教学实践，总结了“目标转化，尝试探求”的分析方法，对帮助学生分析解决立体几何问题有很好的指导作用。特别是帮助初学立体几何的同学巩固知识，探索求解，积累经验有很好的导向作用。在实践中取得了理想的效果。为进一步与大家探索，现总结如下：目标转化、尝试探索法：从要解决的问题出发，借助相关的知识、方法、经验探索出与所要解决问题等价、相关的各种可能，然后对每一种可能进行尝试，得出可行性的解决办法。也就是利用等价转化的思想，将目标转化为若干类（每类可能有一个或若干个小目标）具体的目标，再利用验证、假设、反证等手段讨论各类目标的可行性从而找出解题思路。如果一次转化与尝试不能解决，再进行第二次转化与尝试或更多次转化与尝试，直到问题解决为止。目标决定了研究的方向，具有指导性，尝试决定了研究的可能，具有实践性，在目标的指导下，不断的进行尝试找到解决问题的途径或最优化途径。下面通过实例垂直的问题分析、尝试如下：例：已知四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD，过A且垂直PC的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G，求证：第2页共3页AE⊥PB,AG⊥PD。分析：要证空间线线垂直问题，可转化为线线垂直、线面垂直等思路，因此从知识方法思考得两种尝试途径：一、转化为线线垂直，二、转化为线面垂直。下面就AE⊥PB探索尝试如下：尝试一：讨论转化为线线垂直的可行性目标知识、方法、思路转化尝试可行性目标1AE⊥PB线线垂直线线垂直无与AE或PB平行且与另一直线垂直的直线不明显或难作出×注：“×”代表不可行，“√”代表可行。结论：尝试一不可行。尝试二：讨论转化为线面垂直的可行性目标知识、方法、思路转化尝试可行性目标1AE⊥PB线线垂直线面垂直(参考平面:其特征为①一直线在参考平面内,②另一直线与参考平面垂直)过AE平面PB⊥面AEFG∵PC⊥面AEFG,故PB⊥AEFG不成立×PB⊥面PAB两条直线在同一平面内，不可行。×过PB平面AE⊥面PABAE⊥面PBC目标2AE⊥面PBC不矛盾√目标2AE⊥面PBC线面垂直线线垂直（两参考直线：其特征①两直线在平面内②两直线相交③两参考直线与已知直线垂直）AE⊥线PBPB⊥AE为结论，不合逻辑。不可行。×AE⊥线EF条件不充分×AE⊥线BC目标3AE⊥BC不矛盾√AE⊥线PC目标4AE⊥PC不矛盾目标3AE⊥BC线线垂直线面垂直（选取参考平面）过AE平面BC⊥面PAB目标5BC⊥面PAB不矛盾√BC⊥面AEFG直观不成立，×过BC平面AE⊥面ABCDAE⊥面ABCD不成立。×AE⊥面PBC回到目标2，不合逻辑。×目标4AE⊥PCPC⊥面AEFG（条件）回到条件，可行√目标5BC⊥面PAB线面垂直线线垂直BC⊥线ABABCD为矩形,成立√BC⊥线PA目标6PA⊥BC不矛盾√目标6PA⊥BC线线垂直线面垂直（选取参考平面）PA⊥面ABCD(条件)由线面垂直得线线垂直。√第3页共3页结论：由此得解题思路，制定解题计划：635124PAABCDPABCBCPABBCAEABBCABCDAEPBCAEPBPCAEFGPCAE面目标面目标目标为矩形面目标目标面目标在解题思路的基础上，执行解题计划，得出解答如下：证明：∵PA⊥面ABCD，BC面ABCD∴PA⊥BC……………………………………目标6∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC又PA面PAB，AB面PAB，PA∩AB＝A∴BC⊥面PAB……………………………………目标5又AE面PAB∴BC⊥AE……………………………………目标3∵PC⊥面AEFG，AE面AEFG∴PC⊥AE……………………………………目标4又PC面PBC,，BCN面PBC，PC∩BC＝C∴AE⊥面PBC……………………………………目标2又PB面PBC∴AE⊥PB。……………………………………目标1学生开始学习是时，需要时间了解和熟悉，教师应放慢脚步，给学生充分的时间让学生理解与明白，吃懂吃透。当学生的实践积累到一定的程度，就会很迅速的直观感觉出那些转化是可行的，哪些转化是不可行的，按可行性的思路追寻下去，快速得解题的计划。通过以上探索，不仅使同学们巩固了知识、方法，而且加强了知识、方法的应用，提高了分析解决问题的能力。同时也培养了学生的分析能力与创新素质。【参考文献】：[1]．波利亚．怎样解题．阎育苏译．北京：科学出版社，1982[2]．过伯祥．波利亚的解题观，中等数学，1988，2[3]．罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，1997[4]．郑毓信，肖柏荣，熊萍．数学思维与数学方法论．成都：四川教育出版社，2001[5]．谷政．略论波利亚教育思想与当代数学建构教学观．福建中学数学，2002，２第4页共3页附件三上送论文目录格式作者学校论文题目联系电话E-mail谭银峰东莞华侨中学立几思维训练——目标转化，尝试探求法[e-mail]