2016届高考数学一轮复习课件：第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(新人教A版)

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布课堂限时检测挖掘１大技法抓住２个基础知识点掌握３个核心考向[考情展望]1.以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值、方差的求解.2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.3.考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．一、离散型随机变量的均值与方差及其性质1．定义：若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.(1)均值：称E(X)＝_____________________________为随机变量X的均值或___________．(2)方差：称D(X)＝________________为随机变量X的方差，其___________________为随机变量X的标准差．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn∑ni＝1(xi－E(X))2pi数学期望算术平方根DX2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝____________.(2)D(aX＋b)＝________．(a，b为常数)(3)两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)＝___D(X)＝_________X～B(n，p)E(X)＝_____D(X)＝_________aE(X)＋ba2D(X)pp(1－p)npnp(1－p)求均值、方差的方法1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．二、正态分布1．正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝_________________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态曲线．2．正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝____________，则称随机变量X服从正态分布，记作_________．12πσe－x－μ22σ2abφμ，σ(x)dxN(μ，σ2)3．正态曲线的性质：(1)曲线位于x轴________，与x轴不相交；(2)曲线关于直线______对称；(3)曲线在_________处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为____；(5)当σ一定时，曲线随着_____的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．Σ_________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ_______，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．上方x＝μx＝μ1μ越小越大4．正态总体三个基本概率值(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝__________；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝__________；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝__________.0.68260.95440.9974关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(x≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)．1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84【解析】∵P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.【答案】A2．已知X的分布列为X－101P121316设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73B．4C．－1D．1【解析】E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.【答案】A3．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45【解析】∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴n＝8，p＝0.2.【答案】A4．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．【解析】依题意得x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，即x＋y＝0.6，7x＋10y＝5.4，由此解得y＝0.4.【答案】0.45．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2C.52D．3【解析】把数据代入随机变量的数学期望公式进行计算即可．E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32，选A.【答案】A6．(2013·湖北高考)如图10－9－1，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A.126125B.65C.168125D.75图10－9－1【解析】先求出随机变量X的分布列，然后利用均值的计算公式求得E(X)．依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X＝0)＝33125＝27125，P(X＝1)＝9×6125＝54125，P(X＝2)＝3×12125＝36125，P(X＝3)＝8125.故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.【答案】B考向一[195]正态分布设随机变量X～N(3,1)，若P(x＞4)＝p，则P(2＜x＜4)＝()A.12＋pB．1－pC．1－2pD.12－p【思路点拨】根据正态曲线的对称性求解．【尝试解答】∵随机变量X～N(3,1)，观察图得，P(2＜X＜4)＝1－2P(X＞4)＝1－2p.【答案】C规律方法11.求解本题关键是明确正态曲线关于x＝3对称，且区间[2，4]关于x＝3对称.2.解决此类问题，首先要确定μ与σ的值，然后把所求问题转化到已知概率的区间上来，在求概率时，要注意关于直线x＝μ对称的区间上概率相等，而且把一般的正态分布转化为标准正态分布.对点训练如果随机变量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P(ξ≥1)等于()A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1【解析】因为P(－3≤ξ≤－1)＝P(－1≤ξ≤1)＝0.4，所以P(ξ≥1)＝1－P－3≤ξ≤－1－P－1≤ξ≤12＝1－0.4－0.42＝0.1，选D.【答案】D考向二[196]离散型随机变量的均值与方差(2014·广东百所高中联考)为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【思路点拨】(1)分两种情况：一是答对三道，二是前三道答对二道，第四道答对；(2)ξ的可能取值为3,4,5，利用独立重复试验与相互独立事件求ξ取值所对应的概率．【尝试解答】(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为233＝827，选手甲答4道题进入决赛的概率为C23·232·13·23＝827，∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P＝827＋827＝1627；(2)依题意，ξ的可取取值为3、4、5，则有P(ξ＝3)＝233＋133＝13，P(ξ＝4)＝C23·232·13·23＋C23·13·23·13＝1027，P(ξ＝5)＝C24·232·13·23＋C24·232·132·13＝827，因此，有ξ345P121027927∴Eξ＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.规律方法2求离散型随机变量的均值与方差的方法：1先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解.2若随机变量X～Bn，p，则可直接使用公式EX＝np，DX＝np1－p求解.对点训练为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重(单位：千克)情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图，已知图10－9－2中从左至右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.图10－9－2(1)求该校报考体育专业学生的总人数n；(2)若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人，设ξ表示体重超过60千克的学生人数，求ξ的分布列和数学期望．【尝试解答】(1)设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，p2＝2p1p3＝3p1p3＋p1＋p3＋0.0375＋0.0125×5＝1，解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375.又因为p2＝0.25＝12n，故n＝48.(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p＝p3＋(0.0375＋0.0125)×5＝58.所以ξ服从二项分布，P(ξ＝k)＝Ck358k·383－k，k＝0,1,2,3∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123p27512135512225512125512则Eξ＝0×27512＋1×135512＋2×225512＋3×125512＝158.或Eξ＝3×58＝158考向三[197]期望与方差在决策中的应用小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，45.(1)若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望．(3)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．【思路点拨】(1)利用独立重复试验与互斥事件的概率知识解决；(2)确定X的可能值，求出相应的概率，可得随机变量X的分布列及数学期望；(3)比较两路线遇红灯的数学期望即可做出判断．【尝试解答】(1)设走路线1最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)＝C03×123＋C13×12×122＝12(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝1－34×1－45＝120，P(X＝1)＝34×1－45＋1－34×45＝720，P(X＝2)＝34×45＝35随机变量X的分布列为：X012P12072035EX＝120×0＋720×1＋35×2＝3120(3)设选择路线1遇到红灯次数为Y，则Y～B3，12，所以EY＝3×12＝32因为EX＞EY，所以选择路线1上学最好．规律方法31.解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布列.2.随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般是先分析比较均值，若均值相同，再用方差来决定.对点训练(2013·福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小