2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题6 数学思想方法的培养――数形结合思想课件 文

专题六解析几何数学思想方法的培养——数形结合思想专题复习·数学（文）角度一数与函数图象的结合角度二数与解析几何图形的结合角度三平面向量与平面图形结合角度角度四数与立体图形的结合角度五概率中的数形结合数学思想方法概述(1)数形结合的数学思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形；一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．数学思想方法概述(2)数形结合思想应用原则①等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．②双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．数学思想方法概述③简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．数学思想应用角度角度一数与函数图象的结合[例1]设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在x0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是__________．数学思想应用角度角度一数与函数图象的结合由题意得，当x0时，f(x)＝x－3ax≥a，－x－axa.①当a≥0时，函数f(x)的图象如图(1)所示，考虑极大值f(－a)＝2a，令x－3a＝2a，得x＝5a.所以只需满足5a－(－a)＝6a2015，即0≤a20156.②当a0时，函数f(x)的图象如图(2)所示，且f(x)为增函数，因为x＋2015x，所以满足f(x＋2015)f(x)．综上可知，实数a的取值范围是－∞，20156.故填－∞，20156.－∞，20156数学思想应用角度角度一数与函数图象的结合数形结合法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算．如[典例1]，利用函数解析式，画出函数的大致图象，从左到右观察图象，可确定函数图象的变化趋势，得到函数的单调性．角度二数与解析几何图形的结合数学思想应用角度[例2]如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则yx的最大值为()A.12B.33C.32D.3角度二数与解析几何图形的结合数学思想应用角度(x－2)2＋y2＝3表示坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径r＝3，如图所示，而yx＝y－0x－0表示圆上的(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率．(确定目标问题的几何意义)该问题可转化为如下几何问题：点A在以M(2,0)为圆心、3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值．(转化为几何问题)由图可知，当点A在第一象限，且OA与圆相切时，OA的斜率最大．(解决几何问题)连接AM，则AM⊥OA，OA＝OM2－AM2＝22－32＝1，可得yx的最大值为tanAOM＝3，故选D.(回归代数问题)D角度二数与解析几何图形的结合数学思想应用角度角度三平面向量与平面图形结合数学思想应用角度[例3]已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.2D.22因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．(确定需用向量的几何意义研究的目标)如图所示，OC→＝c，OA→＝a，OB→＝b，CA→＝a－c，CB→＝b－c，(运用向量的几何意义构建图形)即AC⊥BC，又OA⊥OB，所以O，A，C，B四点共圆．当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，(解决几何问题)且最大值为2，故选C.(回归代数问题)C角度三平面向量与平面图形结合数学思想应用角度角度四数与立体图形的结合数学思想应用角度[例4]如图所示，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体A­BCD的棱长为3，点C在平面α内，点B是直线l上的动点，则点O到AD距离的最大值为()A.2＋1B.3＋1C.32(2＋1)D.32(3＋1)角度四数与立体图形的结合数学思想应用角度考虑几何体运动的特殊位置，取AD的中点E，连接BE，CE，OE，OC，则AD⊥平面EBC，当O，B，C，E四点共面时，OE⊥AD.不妨设∠BCO＝θ0θπ2，则OC＝3cosθ，CE＝332，又易知cos∠BCE＝33，sin∠BCE＝63，角度四数与立体图形的结合数学思想应用角度于是在△OCE中，由余弦定理可得OE＝CO2＋CE2－2OC·CEcosθ＋∠BCE＝9cos2θ＋274－93cosθ33cosθ－63sinθ＝274＋922sin2θ，所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，OEmax＝32(2＋1)．故选C.C角度四数与立体图形的结合数学思想应用角度本题结合特值化思想，把O到AD的距离转化为三角函数表达式的最值，即代数问题．角度五概率中的数形结合数学思想应用角度[例5]已知一只蚂蚁在圆：x2＋y2＝1的内部任意爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁爬行在区域|x|＋|y|≤1内的概率是()A.2πB.π2C.π4D.4π依题意知，基本事件空间为半径为1的圆面，其面积为π×12＝π，满足条件|x|＋|y|≤1的区域为边长为2的正方形，其面积为(2)2＝2由几何概型的概率公式可知所求概率为P＝2π，故选A.A本题解答时，注意画草图帮助理解，蚂蚁在圆面上任一处爬行是等可能的，因此判断为几何概型，然后依据条件求阴影正方形的面积即可．