中考几何证明经典题型

几何证明经典题型（提高）1.如图10-1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；②将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且kbCGkaCEbBCaAB,,,)0,(kba，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明.（3）在图10-5中，连结DG、BE，且21,2,4kba，则22BEDG=．答案：⑴①BG＝DE；BG⊥DE；②①中得到的结论仍然成立⑵BG⊥DE成立；BG＝DE不成立⑶BE2+DG2=252.如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD是中线，CE⊥BD于点E，交AB于点F。求证：∠ADF＝∠CDE。简证：过点A作AG⊥AC交CF的延长线于点G。因为∠１＝90°－∠３＝∠２，AC＝BC，所以Rt△CAG≌Rt△BCD（ASA）。所以AG＝CD＝AD，∠G＝∠CDE。因为∠４＝45°＝∠５，AF＝AF,所以△ADF≌△AGF（SAS）。所以∠ADF＝∠G＝∠CDE。3.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，AE＝12（AD＋AB）。求证：∠ADC＋∠ABC＝180°。简证：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F。因为∠２＝∠３，AC＝AC，所以Rt△ACF≌Rt△ACE（AAS）。所以CF＝CE，AF＝AE。因为AD＋AB＝２AE，AB＝AE＋EB，所以EB＝AE－AD。因为FD＝AF－AD，所以EB＝FD。所以Rt△CEB≌Rt△CFD（SAS）。所以∠ABC＝∠5。所以∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠５＝180°。4.已知：MAN，AC平分MAN．⑴在图1中，若MAN＝120°，ABC＝ADC＝90°，AB＋ADAC．（填写“＞”，“＜”，“＝”）⑵在图2中，若MAN＝120°，ABC＋ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶在图3中：①若MAN＝60°，ABC＋ADC＝180°，判断AB＋AD与AC的数量关系，并说明理由；②若MAN＝α（0°＜α＜180°），ABC＋ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）23.解：(1)AB＋AD=AC．--------------------------------------------------------------------------1分(2)仍然成立．证明：如图2过C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，则∠CEA=∠CFA=90°．NMCDBAMNDBACNMABDC图1图2图3NMACBDFE∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，∴∠MAC=∠NAC=60°．又∵AC=AC，∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，CE=CF．∵在Rt△CEA中，∠EAC=60°，∴∠ECA=30°，∴AC=2AE．∴AE+AF=2AE=AC．∴ED+DA+AF=AC．∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC=180°，∴∠CDE=∠CBF．又∵CE=CF，∠CED=∠CFB，∴△CED≌△CFB．∴ED=FB，∴FB+DA+AF=AC．∴AB+AD=AC(3)①AB+AD=3AC．证明：如图3，方法同(2)可证△AGC≌△AHC．∴AG=AH．∵∠MAN=60°，∴∠GAC=∠HAC=30°．∴AG=AH=23AC．∴AG+AH=3AC．∴GD+DA+AH=3AC．方法同(2)可证△GDC≌△HBC．∴GD=HB，∴HB+DA+AH=3AC．∴AD+AB=3AC．MNADCBHG图3图2②AB＋AD＝2cos2·AC．5.如图所示，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点。（1）求点G的坐标；（2）求折痕EF所在直线的解析式；（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。答案：（1）∵四边形ABCO是正方形∴BC=OA=4∵E为CB中点，∴EB=2∵MN//y轴，N（3，0）∴MN⊥EB，且MB=NA=1∴EM=1而∴∠EGM=30°，∴MG=EG·cos30°=∴G（3，）（2）∵∠EGM=30°∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60°∴CF=CE·tan60°∴FO=。∴F（0，），E（2，4）设直线EF的解析式为∴折痕EF所在直线解析式为MKGFBCDAEMKGFBCDAE（3）如图所示，。6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，AD=AB=2,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连结ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G,交BC于点K,过点K作KM⊥AD于M．(1)当E为AB中点时，求DMDG的值；(2)若13AEAB,则DMDG的值等于；(3)若1AEABn（n为正整数），则DMDG的值等于（用含n的式子表示）．答案：（1）连接GE．∵KM⊥AD，KG是DE的垂直平分线∴∠KMG=∠DFG=90°∴∠GKM=∠GDF∵MK=AB=AD,∠KMG=∠DAE=90°∴ΔKMG≌ΔDAE∴MG=AE∵E是AB中点，且AB=AD=2∴AE=MG=1∵KG是DE的垂直平分线∴GE=GD设GE=GD=x则AG=2-x在RtΔAEG中，∠EAG=90°，由勾股定理得（2-x）2+12=x2∴x=45∴DM=GD-GM=41∴51DGDM（2）52（3）1)1(22nn7.如图所示，等腰Rt△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度做直线运动。已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。（1）设AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；（2）当AP的长为何值时，？（3）作PE⊥AC于E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。答案：（1）①当点P在线段AB上时，如图（1）所示∵AP=CQ=x，PB=2－x∴即②当点P在AB延长线上时，如图（2）所示∵AP=CQ=x，PB=x－2即（2）①令，即，此方程无实根；②令，即。解得，舍去负值。。故当AP的长为时，（3）作PF//BC交AC的延长线于F，则AP=PF=CQ，AE=EF∴∴DF=CD①当点P在线段AB上时，∴②当点P在AB的延长线上时，∴DE=EF－FD故当P、Q运动时，线段DE的长度保持不变，始终等于mMOFE(D)CBA8.我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，90CAB，直线m过点O,过CBA、、三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点FED、、.(1)当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段CFBE、和AD三者之间的数量关系并证明；(2)当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段CFBEAD、、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．答案：（1）猜想：BE+CF=AD证明：如图，延长AO交BC于M点，∵点O为等腰直角三角形ABC的重心∴AO=2OM且AM⊥BC又∵EF∥BC∴AM⊥EF∵BE⊥EF,CF⊥EF∴EB∥OM∥CF∴EB=OM=CF∴EB+CF=2OM=ADmOFEDCBAABCDEFOmmABC(D)EFO图1图2图3图1HGABCDEFOm图2（2）图2结论：BE+CF=AD证明：联结AO并延长交BC于点G,过G做GH⊥EF于H由重心性质可得AO=2OG∵∠ADO=∠OHG=90°,∠AOD=∠HOG∴△AOD∽△GOH∴AD=2HG∵O为重心∴G为BC中点∵GH⊥EF,BE⊥EF,CF⊥EF∴EB∥HG∥CF∴H为EF中点∴HG=21(EB+CF)∴EB+CF=AD(3)CF－BE=AD9.已知：如图所示，梯形ABCD中，AB//CD，∠C=90°，AB=BC=4，CD=6。（1）点E为BC边上一点，EF//AD，交CD边于点F，FG//EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图所示，将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠，交CD边于点，且点与D点不重合，射线交AB边于点M，作N//交AD边于点N，设BM为x，中，边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。mOFEDCBA图3答案：（1）作AH⊥CD于点H（如图所示）∵四边形AEFG为矩形∴∠AEF=90°∴∠1+∠3=90°∵∠C=90°，∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠2∵EF//AD。∴∠2=∠D∴∠1=∠D∵AB=BC=CH=4∴HD=CD－CH=2∴∴tan∠1=∴BE=2，即E为BC的中点。（2）如图所示，作NP⊥CD于点P，则PN=y可得∠4=∠5=∠6，它们的正切值相等。即。，即整理，得当点与点D重合时（如图所示）∠BEM=∠EDC，∴tan∠BEM∴x的取值范围为10.在ABC△中，AC=BC，90ACB，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．HF图2图1HFEBCDAEDBCA答案：（1）FH与FC的数量关系是：FHFC．证明：延长DF交AB于点G，由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．∴DG∥CB．∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且12DCAC．∴DG为ABC△的中位线．∴12DGBC．∵AC=BC，∴DC=DG．∴DC-DE=DG-DF．即EC=FG．∵∠EDF=90°，FHFC，∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°．∴∠1=∠2．11如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，2tanB.（1）求证：AD=AE；（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.求证：AFEFDF2；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.21HGFEBCDA图1EBCAD图3EBCAD图2ECBADFP答案：（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴2tanBEAEB∴BEAE2．∵E为BC的中点，∴BEBC2．∴AE=BC.∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC.∴AE=AD.（2）在DP上截取DH=EF（如图8）．∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，∴∠EAD=90°．∵EF⊥PD，∠1＝∠2，∴∠ADH=∠AEF．∵AD=AE，∴△ADH≌△AEF．∴∠HAD=∠FAE，AH=AF．∴∠FAH==90°．在Rt△FAH中，AH=AF，∴AFFH2．∴AFEFFDHDFD