三角函数傅立叶变换

1要保证函数存在二维傅里叶变换对，函数就应该满足狄里赫利条件和绝对可积条件，这个条件是从纯数学的角度来考虑的，是数学理论研究的范畴，信息光学来说，应该从应用的观点来考虑：在应用傅里叶变换的各个领域的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备保证其傅里叶变换存在的基本条件。从应用的角度看，可以认为，傅里叶变换实际上总是存在的。在应用问题中，也会遇到一些理想化的函数，如常数函数、阶跃函数等光学领域中常用的函数，但是他们不满足保证其傅里叶变换存在的充分条件；同时他们在物理上也不能够严格实现，对这类数学难以讨论其经典意义下的傅里叶变换。但是可以借助函数序列极限概念得到这类函数的广义傅里叶变换。物理上所用到的函数总存在FT2如果一个二维函数可以分离，那么他的傅立叶变换可以表示成两个一维傅立叶变换的乘积：如果那么(,)()()gxyjxhy={(,)}{()()}{()}{()}FgxyFjxhyFjxFhx==3空域频域(,)(,)cossinxyrxryr→==(,)(,)cossinuvuv→==具有圆对称的函数在极坐标下描述起来更加方便r4(,)(,)exp[2()]ddFuvfxyjuxvyxy−−=−+cos,sinxryr==cos,sinuv==200(cos,sin)(cos,sin)exp[2(coscossinsidnd)]rFfrrjrrr=−+200(cos,sin)(cos,sin)exp[2cos()]ddFfrrjrrr=−−200(,)(,)exp[2cos()]ddFrfrjrr=−−(,)(cos,sin)FF=(,)(cos,sin)frfrr=5(,)(,)exp[2()]ddfxyFuvjuxvyuv−−=+cos,sinxryr==cos,sinuv==200(cos,sin)(cos,sin)exp[2(coscossinsind)]dfrrFjrr=+200(cos,sin)(cos,sin)exp[2cos()]ddfrrFjr=−200(,)(,)exp[2cos()]ddfrFjr=−(,)(cos,sin)FF=(,)(cos,sin)frfrr=6200200(,)(,)exp[2cos()]dd(,)(,)exp[2cos()]ddGrfrjrrfrGjr=−−=−极坐标系下的Fouriertransformation本节给出一些重要的FT性质，间或加以推导利用这些性质，只要知道不多的几个函数的FT，就很容易求出其他函数的FT，起到化难为简的作用这些性质和定理在线性系统分析，信号处理，图像处理等领域经常使用。781.线性性质设有a.和的FT等于FT的和————叠加性b.幅值按同样的比例缩放————均匀性c.同时具有叠加性和均匀性————线性性质性(,){(,)},(,){(,)}FuvFfxyGuvFgxy==a,b为常数{(,)(,)}(,)(,)FafxybgxyaFuvbGuv+=+92对称性若则证明：(,){(,)}Fuvfxy={(,)}(,)Fxyfuv=−−{(,)}(,)exp[2()]dd(,)exp[2(()())]dd(,)FxyFxyjuxvyxyFxyjuxvyxyfuv=−+=−+−=−−10对称性的一些其他情形若f(x,y)为偶函数，则F(u,v)也是偶函数，即:若f(-x,-y)=f(x,y),则F(-u,-v)=F(u,v)。若f(x,y)为奇函数，则F(u,v)也是奇函数，即：若f(-x,-y)=-f(x,y),则F(-u,-v)=-F(u,v)。(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)fxyFuvFuvfxyfxyFuvFuvfxy−−−−−−−−−−−−−−113迭次FT以连续两次FT为例，二元函数f(x,y)的连续两次FT变换，得到原函数的倒立像，即：{{(,)}}(,)FFfxyfxy=−−{(,)exp[2()]dd}exp[2('')]dd(,){exp[2((')(')]dd}(,)(',')(',')(,)fxyjuxvyxyjuxvyuvfxydxdyjuxxvyyuvfxyxxyydxdyfxyfxy−+−+=−+++=++=−−=124、FT的坐标缩放性质若a,b为不等于零的实常数，若F(u,v)=F{f(x,y)},则有：证明：略光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。如：孔径夫琅和费衍射。1{(,)}(,)||uvFfaxbyFabab=135、FT的平移性若F{f(x,y)}=F(u,v),且x0,y0为常数，则有证明：空域中的平移造成频域中频谱的相移。光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不变性。0000{(,)}exp[2()](,)fxxyyjuxvyFuv−−=−+14FT的体积对应关系假设，F{f(x,y)}=F(u,v)，则有(0,0)(,)(0,0)(,)FfxydxdyfFuvdudv==1.卷积定理(ConvolutionTheorem)2.相关定理(CorrelationTheorem)15161.卷积定理(convolutiontheorem)设F{f(x,y)}=F(u,v),F{g(x,y)}=G(u,v)，则有即两个函数卷积的FT等于它们的FT之积。两个函数乘积的FT等于它们的FT的卷积。若f(x,y)和g(x,y)表示两幅图像,卷积定理即表示:两图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积。{(,)*(,)}(,)(,){(,)(,)}(,)*(,)FfxygxyFuvGuvFfxygxyFuvGuv==17{()*()}()()exp(2)d()()exp(2)d()()exp(2)()()exp(2)()()FfxgxfgxdjuxxfgxjuxxdfGujudGufjudGuFu=−−=−−=−=−={(,)(,)}(,)*(,)FfxygxyFuvGuv=同样可证：18对于一个复杂函数，其FT难求，若它可表示成几个简单函数的卷积，而这些简单函数的FT易求，则可用卷积定理。如：当两个函数或图像的卷积难求时，可先求得各自的FT，乘积后，再求IFT，即可得两者之卷积。2{()}?()rect()*rect(){()}{rect()*rect()}{()}{()}sinc()sinc()sinc()FxxxxFxFxxFrectxFrectxuuu======