2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第九章 直线和圆的方程第3节

✎考纲解读1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能根据给定的两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.✎知识点精讲一、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有种：相离、相切和相交.二、直线与圆的位置关系的判断三、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有种，分别是外离、外切、相交、内切和内含.1.几何法圆心,ab到直线0AxByC的距离22AaBbCdAB，则：dr直线与圆相交，交于两点,PQ，222PQrd；dr直线与圆相切；dr直线与圆相离.2.代数方法由2220AxByCxaybr，消元得到一元二次方程20pxqxt（或20pyqyt）的判别式为，则：0直线与圆相交；0直线与圆相切；0直线与圆相离.上述方法，以几何法为主.四、两圆位置关系的判断设两圆1O，2O的半径分别为R，r（不妨设Rr…），且两圆与的圆心距为d，则：dRr两圆外离；dRr两圆外切；RrdRr两圆相交；dRr两圆内切；0dRr„两圆内含（0d且Rr时两圆为同心圆）.五、关于圆的切线的几个重要结论：（1）过圆222xyr上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为200xxyyr.（2）过圆222xaybr上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为：200()()()()xaxaybybr；（3）过圆220xyDxEyF上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为：0000022xxyyxxyyDEF.（4）过圆220xyDxEyF（或222xaybr）外一点00(,)Pxy的圆的切线长公式：220000dxyDxEyF（或22200()()dxaybr）；（5）在求过圆222xyr外一点00(,)Pxy的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求切线直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()yykxx，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出k值.若求出的k值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.✎题型归纳及思路提示题型124直线与圆的位置关系【例9.27】已知圆228120Cxyy：，直线20laxya：.（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆相交于,AB两点，且22AB时，求直线l的方程.【分析】根据点到直线距等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题.【解析】（1）圆的方程可化为2244xy（），故圆心为(0,4)C，因直线l与圆C相切，故圆心(0,4)C到直线l的距离2|42|21ada，解得3.4a（2）由题意，直线l与圆C相交，又22AB，故有222|42|(2)()41aa，化简可得2870aa，即1a或7a.故所求直线的方程为20xy或7140.xy【例9.30】过点𝑃1,1的直线𝑙与圆𝐶:𝑥−22+𝑦−32=9相交于𝐴，𝐵两点，则𝐴𝐵的最小值为（）.B.4A.23D.5C.25【解析】设圆心𝐶2,3到直线𝑙的距离为𝑑，由弦长公式𝐴𝐵=2𝑟2−𝑑2=29−𝑑2，可知当距离𝑑最大时，弦长𝐴𝐵最小.又𝑑≤𝐶𝑃=2−12+3−12=5，当直线𝑙⊥𝐶𝑃时取等号，故𝑑max=5.所以𝐴𝐵min=2𝑟2−𝑑max2=29−5=4.故选B.【例9.30变式1】已知圆的方程𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦=0.设该圆过点3,5的最长弦和最短弦分别为𝐴𝐶和𝐵𝐷，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为（）.B.206A.106D.406C.306【解析】𝑥2+𝑦2−6𝑥−8𝑦=0可化为：𝑥−32+𝑦−42=25，故圆心坐标为3,4，半径为5，点3,5在圆内.因为𝐴𝐶最长，所以𝐴𝐶为直径，即𝐴𝐶=10.𝐵𝐷最短，有𝐴𝐶⊥𝐵𝐷且𝐵𝐷过点3,5，所以𝐵𝐷=225−3−32+5−42=46.所以𝑆=12𝐴𝐶⋅𝐵𝐷=206.故选B.【例9.30变式2】如图所示，已知𝐴𝐶，𝐵𝐷为圆𝑂：𝑥2+𝑦2=4的两条相互垂直的弦，垂足为𝑀1,2，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的最大值为.M1,2ODCBAyx【解析】设圆心𝑂到𝐴𝐶，𝐵𝐷的距离分别为𝑑1，𝑑2，垂足分别为𝐸，𝐹，则四边形𝑂𝐸𝑀𝐹为矩形，有𝑑12+𝑑22=3.由平面几何知识知𝐴𝐶=24−𝑑12，𝐵𝐷=24−𝑑22.所以𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=12𝐴𝐶⋅𝐵𝐷=12×24−𝑑12⋅24−𝑑22≤4−𝑑12+4−𝑑22=8−𝑑12+𝑑22=5.当且仅当𝑑1=𝑑2=62时，等号成立.即四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的最大值为5.=24−𝑑12⋅4−𝑑22【例9.31】求经过点(1,7)与圆2225xy相切的切线方程．【分析】将点(1,7)代人圆方程221(7)5025，知点(1,7)是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标．【解析】解法一：依题意，直线的斜率存在.设所求切线斜率为k，则所求直线方程为7(1)ykx，整理成一般式为70kxyk，由圆的切线的性质，可得2|007|51kk．化简得2127120kk，解得43k或34k.故所求切线方程为：43250xy或34250xy.解法二：依题意，直线的斜率存在.设所求切线方程为0025xxyy（00(,)xy是圆上的点）．将坐标(1,7)代入后得00725xy，由00220072525xyxy，解得0043xy或0034xy，故所求切线方程为43250xy或34250xy.【例9.34】（1）直线𝑙:𝑦=𝑥−1上的点到圆𝐶:𝑥2+𝑦2+4𝑥−2𝑦+4=0上的点的距离最小值是.（2）由直线𝑦=𝑥+1上的点向圆𝑥−32+𝑦+22=1引切线，则切线长的最小值为（）B.32A.17D.25C.19【分析】（2）如图所示，过直线𝑦=𝑥+1上任意一点𝑃向圆𝑥−32+𝑦+22=1引切线𝑃𝑄.即可得到𝑃𝑄⊥𝑂1𝑄，𝑃𝑄=𝑂1𝑃2−𝑂1𝑄2=𝑂1𝑃2−1.那么，当切线长𝑃𝑄取最小值时，即𝑂1𝑃取最小值.yxO13,-2()HRQPO【解析】（1）圆C化为22(2)(1)1xy，故圆心(2,1)C到直线1lyx：的距离222112211d，又所求距离最小值为221.dr（2）过1O作1OH垂直于直线1yx于点H，过H作HR相切圆1O于点R，连接1OR，则切线长的最小值为HR.圆心坐标(3,2)到直线10xy的距离321322d.221117HROHOR.故选A.【例9.34变式2】已知点𝑃𝑥,𝑦是直线𝑘𝑥+𝑦+4=0𝑘0上一动点，𝑃𝐴，𝑃𝐵是圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑦=0的两切线，𝐴，𝐵是切点，若四边形𝑃𝐴𝐶𝐵的最小面积是2，则𝑘的值为（）B.212A.3D.2C.22【分析】利用数形结合思想求解四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积的最小值.【解析】如图所示，连接𝑃𝐶，则𝑆四边形𝐴𝑃𝐵𝐶=2𝑆△𝑃𝐴𝐶=2×12×𝐴𝐶⋅𝑃𝐴=𝑃𝐴.四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积的最小值转化为切线长𝑃𝐴的最小值.过𝐶作𝐶𝐻垂直于直线𝑘𝑥+𝑦+4=0于点𝐻，过𝐻作𝐻𝑅切圆𝐶于点𝑅，连接𝐶𝑅，那么切线长的最小值为𝐻𝑅，且𝐻𝑅=𝐶𝐻2−𝐶𝑅2=𝐶𝐻2−1.kx+y+4=0PHRC0,1()BAOyx因为𝐶𝐻=5𝑘2+1，𝐻𝑅=25𝑘2+1−1=24−𝑘2𝑘2+1，所以24−𝑘2𝑘2+1=2，得𝑘2=4𝑘0，所以𝑘=2.故选D.题型125圆与圆的位置关系及其应用【例9.34】圆22120Oxy：和圆22240Oxyy：的位置关系是（）.A.相离B.相交C.外切D.内切【分析】判断圆心距与两圆半径的关系.【解析】由圆2212Oxy：得1(0,0)O，12r，圆22240Oxyy：得20,2O，半径22r，2112122rrOOrr，故两圆相交.故选B.【例9.36变式1】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，圆𝐶的方程为𝑥2+𝑦2−8𝑥+15=0，若直线𝑦=𝑘𝑥−2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆𝐶有公共点，则𝑘的最大值是.【解析】圆𝐶化为𝑥−42+𝑦2=1，设直线𝑦=𝑘𝑥−2上存在点𝐷符合题设，即圆𝐶与圆𝐷有公共点，即圆心距𝑟1−𝑟2≤𝐶𝐷≤𝑟1+𝑟2，即0≤𝐶𝐷≤1+1=2.因为存在点𝐷即可，所以𝐶𝐷min≤2，即圆心𝐶4,0到直线𝑦=𝑘𝑥−2的距离4𝑘−2𝑘2+1≤2，解得0≤𝑘≤43.所以𝑘max=43.