2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT.第七章 不等式第3~4节

✎考纲解读1.会从实际情境中抽象出二元一次方程不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决.✎知识点精讲一、二元一次不等式表示平面区域一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.通常把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.而在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界线画成实线.0AxByC00AB或0AxByC0AxByC…二、二元一次不等式表示平面区域的快速判断法表7-1二元一次不等式表示平面区域的快速判断法如表7-1所示，主要看与是否同向，若同向，则在直线上方；若异向，则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫值判断法.三、线性规划（1）二元一次不等式组是一组变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件.直线上方直线下方直线下方直线上方区域不等式0B0B0AxByC0AxByC0AxByC0AxByC0AxByC0AxByC不等式的符号B的符号B,xy,xy（2）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数.由于又是的一次解析式，所以又叫做线性目标函数.（3）求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域.分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做该问题的最优解.✎题型归纳及思路提示题型87二元一次不等式组表示的平面区域,zaxbyabR,xyzaxby,xy,xyzaxby【例7.16】若不等式组𝑥−𝑦≥02𝑥+𝑦≤2𝑦≥0𝑥+𝑦≤𝑎表示的平面区域是一个三角形，则𝑎的取值范围是__________.【解析】如图所示，阴影部分为不等式组𝑥−𝑦≥02𝑥+𝑦≤2𝑦≥0对应的可行域，过点𝑂，𝐴，𝐵分别作斜率等于−1的直线𝑙1,𝑙2,𝑙3，其中点𝐴的坐标为（1,0），𝐵的坐标为23，23.结合图形易知，x-y=02x-y=2-1121BAOyx则直线𝑙:𝑥+𝑦=𝑎应位于直线𝑙1,𝑙2之间（包括𝑙2），或位于直线𝑙3的右上方（包括𝑙3），故𝑎的取值范围是0,1∪[43，+∞.所以0𝑎≤1或者𝑎≥43.要使原不等式组表示的平面区域是一个三角形，结合图形易知，l2l3l1xyOAB121-12x-y=2x-y=0【例7.17】不等式组所表示的平面区域的面积等于（）.A.B.C.D.【解析】由，得，如图7-8所示，故故选C.题型88平面区域的面积03434xxyxy……„32234334340340xyxy1,1C1144412233ABCCSABx△.图7-8【例7.18】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知平面区域𝐴=𝑥，𝑦|𝑥+𝑦≤1，且𝑥≥0，𝑦≥0，则平面区域𝐵=𝑥+𝑦，𝑥−𝑦|𝑥，𝑦∈𝐴的面积为.A.2B.1C.12D.14【解析】则𝑥=12𝑎+𝑏，𝑦=12𝑎−𝑏，令𝑎=𝑥+𝑦，𝑏=𝑥−𝑦，代入集合𝐴，易得𝑎+𝑏≥0𝑎−𝑏≥0𝑎≤1，其所对应的平面区域如图所示阴影部分，其面积为12×2×1=1.故选B.【评注】本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻找平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的区域.1baOa-b=0a+b=0a=1B1,-1()A1,1()【例7.19】已知且，则的取值范围是．【解析】令，则，解得.即由得，所以.故的取值范围是.14xy23xy23zxy23()()zxyaxybxy23abab15,22ab1523.22zxyxyxy1423xyxy，，11222xy5155.22xy3238xy23zxy3,8题型89求解目标函数的取值范围（或最值）【例7.20】已知变量满足约束条件，则的最大值为（）.A.B.C.D.【分析】画出可行域，明确目标函数的几何意义，结合图形求出目标函数的最值.【解析】可行域如图7-11所示，先画出直线，平移直线，当直线过点时，的值最大，由，得，所以点的坐标为，故，图7-11故选B.,xy211yxyxy„…„3zxy121131z0:3lyx0lA3zxy21yxy32xyA3,2max33211z【例7.22】如果点𝑃在平面区域2𝑥−𝑦+2≥0𝑥−2𝑦+1≤0𝑥+𝑦−2≤0，点𝑄在曲线𝑥2+𝑦+22=1上，那么|𝑃𝑄|的最小值是（）.A.5−1B.455−1C.22−1D.2−1【分析】由几何意义可得所求|𝑃𝑄|的最小值为可行域上的点与圆上的点之间的距离的最小值.【解析】可行域如图所示的阴影部分（含边界），设圆心到直线𝑥−2𝑦+1=0的距离为𝑑，所以|𝑃𝑄|min=𝑑−1=5−1.故选A.则𝑑=55=5，【例7.24】已知变量满足条件，若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围是．【分析】求目标函数中参数的取值范围问题，先画出平面区域，确定最优解，从而求出的范围.【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图7-15所示.由目标函数仅在处取得最大值，所以直线的斜率要比直线的斜率小，即，得.故的取值范围是.图7-15题型90求解目标函数中参数的取值范围,xy6200xyxyxy„„……zaxy4,2aMaM0zaxya4,2yaxz6xy1a1aa0a1,【例7.24变式2】若𝑥,𝑦满足约束条件𝑥+𝑦≥1𝑥−𝑦≥−12𝑥−𝑦≤2，目标函数𝑧=𝑎𝑥+2𝑦仅在点1,0处取得最小值，则𝑎的取值范围是（）.A.−1,2B.−4,2C.−4，0D.−2,4作出可行域如图所示，由图像可知，−1−𝑎22,即−4𝑎2.故选B.【解析】直线𝑎𝑥+2𝑦=𝑧仅在点1,0处取得最小值，-211Oyx2x-y=2x-y=-1x+y=1【例7.25】设二元一次不等式组𝑥+2𝑦−19≥0𝑥−𝑦+8≥02𝑥+𝑦−14≤0所表示的平面区域为𝑀，使函数𝑦=𝑎𝑥𝑎0，𝑎≠1的图像过区域𝑀的𝑎的取值范围是.A.1，3B.2，10C.2，9D.10，9【解析】作出不等式组表示的平面区域𝑀，【分析】目标函数中参数的取值范围问题，先画出平面区域，确定最优解，从而求出𝑎的范围.由𝑥+2𝑦−19=02𝑥+𝑦−14=0，得𝐴3，8.由𝑥+2𝑦−19=0𝑥−𝑦+8=0，得𝐵1，9.如图所示.当𝑦=𝑎𝑥的图像过点𝐴3，8时，即𝑎3=8，解得𝑎=2；当𝑦=𝑎𝑥的图像过点𝐵1，9时，即𝑎=9，则2≤𝑎≤9.故选C.由图可知，若𝑦=𝑎𝑥的图像要过区域𝑀，题型91简单线性规划问题的实际运用【例7.27】某加工厂用某原料由甲车间加工出产品，由乙车间加工出产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时小时可加工出千克产品，每千克产品获利元，乙车间加工一箱原料需耗费工时小时可加工出千克产品，每千克产品获利元.甲、乙两车间每天共能完成至多箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不超过小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）.A.甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱B.甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱C.甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱D.甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱AB107AA4064BB50704801060155518504030【分析】设未知数，确定线性约束条件和目标函数，画出可行域和目标函数对应的初始直线、平行直线、确定最优解，从而求出目标函数的最值.【解析】设甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱，则，目标函数，结合图像，如图7-18所示，当，时最大.故选B.xy70106480,xyxyxyΝ„„280200zxy15x55yz图7-18第四节不等式的综合✎知识点精讲不等式经常作为一种研究函数和方程的有关命题的工具，反之，利用函数和方程的理论也可研究不等式，如恒成立问题和根的分布问题等.这些都是高考命题中的重点内容，往往在以综合题形式出现.✎题型归纳及思路提示题型92不等式恒成立问题中求参数的取值范围【例7.29】当时，不等式恒成立，则的取值范围是．【解析】解法一：构造函数.由于当时，不等式恒成立，则，即(1,2)x240xmxm2()41,2fxxmxx1,2x240xmx(1)0,(2)0ff剟且解得解法二：（分离参数法）由时，不等式，令，因为在上恒成立，故在区间上的递增函数，故，所以.【评注】若本题中的条件改为，则的取值范围是，希望同学们认真、仔细地体会其中的不同.140m„4240.m„5.m„(1,2)x2240(4)xmxmxx24xmx244()xfxxxx22244()10xfxxx1,2x()fx1,25()4fx5m„1,2xm5m题型93函数与不等式综合【例7.31】若不等式的解集为区间，且，则．【解析】如图7-19所示，直线过定点，因为的解集为，所以.又，故，则直线与圆的交点，代入直线，得.2922xkx„,ab2bak22ykx2,22922xkx„,3a3b2ba1a1,22A22ykx2k图7-19