2002年考研数学(三)真题及详细解析

12002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)⑴设常数12a，则21limln[]________(12)nnnnana.【分析】将所求极限转换为1ln[1](12)lim1nnan，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)limln[]limlim11(12)12nnnnnnanananaann法二：11(12)12122111limln[]limln[1]limln(12)(12)12nanaannnnnaenanaa⑵交换积分次序：111422104(,)(,)________yyydyfxydxdyfxydx.【分析】写出对应的二重积分积分域D的不等式，画出D的草图后，便可写出先对y后对x的二次积分【详解】对应的积分区域12DDD，其中11(,)0,4Dxyyyxy2111(,),422Dxyyyx画出D的草图如右图所示，则D也可表示为21(,)0,2Dxyxxyx故2111142221004(,)(,)(,)yxyyxdyfxydxdyfxydxdxfxydy⑶设三阶矩阵122212304A，三维列向量(,1,1)Ta。已知A与线性相关，则2______a。【分析】由A与线性相关知，存在常数k使得Ak，及对应坐标成比例，由此求出a【详解】由于122212123304134aaAaa由A与线性相关可得：233411aaaa，从而1a。⑷设随机变量X和Y的联合概率分布为Y概率X10100.070.180.1510.080.320.20则2X和2Y的协方差22(,)_______CovXY。【分析】本题主要考查利用随机变量X和Y的联合概率分布求简单函数的概率分布、利用数学期望的定义求随机变量的数学期望、协方差的计算等。【详解】法一：由题设可得010.40.6X，1010.150.50.35Y，2010.40.6X，2010.50.5Y，22010.720.28XY从而2()0.6EX，2()0.5EY，22()0.28EXY故222222(,)()()()0.280.30.02COVXYEXYEXEY法二：由题设可得010.40.6X，1010.150.50.35Y，从而222()00.410.60.6EX，2222()(1)0.1500.510.350.5EY2222222222()(1)00.07(1)10.08000.18010.32EXY2222100.15110.200.28故222222(,)()()()0.280.30.02COVXYEXYEXEY3评注：()DX的定义2()()DXEXEX，通常按公式22()()(())DXEXEX计算；(,)COVXY的定义(,)[()()]COVXYEXEXYEY，但通常按公式(,)()()()COVXYEXYEXEY计算⑸设总体X的概率密度为(),(;)0,xexfxx而12,,,nXXX是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为_______【分析】根据矩估计的定义计算即可.【详解】由于()()()(;)limtxxtEXxfxdxxedxde()lim1txtedx根据矩估计量的定义,满足()EXX的ˆ即为的矩估计量,因此11ˆ11niiXXn二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设函数()fx在闭区间[,]ab上有定义，在开区间(,)ab内可导，则（A）当()()0fafb时，存在(,)ab，使()0f（B）对任何(,)ab，有lim[()()]0xfxf（Ｃ）当()()fafb时，(,)ab，使()0f（Ｄ）存在(,)ab，使()()()()fbfafba【分析】本题主要考查零点定理、微分中值定理的理解及函数连续的概念。【详解】由于函数()fx在闭区间[,]ab上有定义，在开区间(,)ab内可导，只能说明()fx在开区间(,)ab内连续且可导，不能保证函数()fx在闭区间[,]ab上连续，从而零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足，从而不一定必有相应结论，所以（A）、（C）、（D）三选项都错；由于可导必定连续，从而()fx在开区间(,)ab内连续，所以对任何(,)ab，有lim()()xfxf，从而应选（Ｂ）4⑵设幂级数1nnnax与1nnnbx的收敛半径分别为53与13，则幂级数221nnnnaxb的收敛半径为（Ａ）5（Ｂ）53（Ｃ）13（Ｄ）15【分析】本题借用加强法来完成，即假设1limnnnaa与1limnnnbb都存在。【详解】假定所给幂级数的收敛半径可以按公式计算，则由题设知：1115lim()3nnnnnaxxax，1111lim()3nnnnnbxxbx从而21122222221111222221125limlimlimlim()(3)53nnnnnnnnnnnnnnnnnnaxbababxxxxaababxb所以应选（A）。评注：已知幂级数1nnnax的收敛半径为R，未必有1limnnnaRa；当幂级数1nnnax的收敛半径为R，且1limnnnaa存在时，才有1limnnnaRa。⑶设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则线性方程组0ABx（Ａ）当nm时仅有零解（Ｂ）当nm时必有非零解（Ｃ）当mn时仅有零解（D）当mn时必有非零解【分析】根据齐次线性方程组有非零解的充要条件判定。【详解】齐次线性方程组0ABx有非零解的充要条件是()rABm。而当mn时()()rABrAnm所以当mn时线性方程组0ABx必有非零解。故应选（D)。评注：涉及齐次线性方程组解的判定问题，均可转化为系数矩阵秩的分析。⑷设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵1()TPAP属于特征值的特征向量是（A）1P（B）TP（C）P（D）1()TP【分析】本题主要考查特征值与特征向量的关系以及矩阵的基本性质。利用特征值的定义检验。【详解】由已知A，于是5TTPAP，1()TTTTPAPPP又由TAA，可得1()TTTPAPPP，可见矩阵1()TPAP属于特征值的特征向量是TP。故应选（B)⑸设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（A）XY服从正态分布（B）22XY服从2分布（C）2X和2Y都服从2分布（D）22XY服从F分布【分析】主要考查正态分布的性质及2分布、F分布的定义。利用服从标准正态分布的随机变量的性质及服从2分布、F分布的随机变量的表达式对选项逐一检验，直到得到正确的选项。【详解】由于X和Y不一定相互独立，故（A）、（B）、（D）不一定成立。由于随机变量X和Y都服从标准正态分布，所以2X和2Y都服从2分布。故应选（C）。三、（本题满分5分）求极限2000[arctan(1)]lim(1cos)xuxtdtduxx【分析】考查未定式极限及变上限函数求导数。对分母使用等价无穷小代换，然后利用洛必达法则。【详解】法一：220000002[arctan(1)][arctan(1)]limlim1(1cos)2xuxuxxtdtdutdtduxxxx220002arctan(1)2arctan(1)limlim3362xxxtdtxxxx法二：2200000[arctan(1)]arctan(1)limlim(1cos)1cossinxuxxxtdtdutdtxxxxx22002arctan(1)2arctan(1)limlimsin2sincos62cosxxxxxxxxxxx四、（本题满分7分）设函数(,,)ufxyz有连续偏导数，且(,)zzxy由方程xyzxeyeze所确定，求du6【分析】本题综合考查了多元函数微分法与隐函数微分法。【详解】将已知条件给出的所有关系式求微分得(1)(1)(1)xyzxyzdufdxfdyfdzxedxyedyzedz从而(1)(1)(1)xyxyzzxedxyedydufdxfdyfze(1)(1)()()(1)(1)xyxzyzzzxeyeffdxffdyzeze评注：对多元函数求微分应充分利用微分形式的不变性，使计算简化。五、（本题满分6分）设2(sin)sinxfxx，求()1xfxdxx【分析】先求出()fx的表达式，再计算不等积分。【详解】法一：令2sinux，则sinxu，arcsinxu，从而arcsin()ufuu于是arcsin()2arcsin111xxfxdxdxxdxxx1121arcsin11xxxdxxx21arcsin2xxxC法二;令2sinxt，则22sin()(sin)2sincos2sincossin1xttfxdxftttdttdtttx2sin2cos2cos2sinttdttdttttC、21arcsin2xxxC评注：被积函数中含有反三角函数或对数函数，一般应考虑使用分部积分法。六、（本题满分7分）设1D是由抛物线22yx和直线,2xax及0y所围成的平面区域；2D是由抛物线22yx和直线0,yxa所围成的平面区域，其中02a7（Ⅰ）试求1D绕x轴旋转而成旋转体的体积1V；2D绕y轴旋转而成旋转体的体积2V；（Ⅱ）当a为何值时，12VV取得最大值？试求此最大值。【分析】这类求旋转体体积应用题正确做出草图，明确平面域12,DD对于问题的分析求解非常重要，然后利用公式求出12,VV；第二问利用导数便可解决。【详解】做出12,DD草图如右图所示（Ⅰ）由旋转体体积公式可得522214(32)(2)5aaVxdx24202(2)aVxxdxa（Ⅱ）由（Ⅰ）知：54124(32)5aVVVa，（02a）则34(1)Vaa，从而V在(0,2)内有唯一驻点1a，且(1)40V。因此当1a时，12VV取得最大值，此时最大值为1295。七、（本题满分7分）（Ⅰ）验证函数3631()3!6!(3)!nxxxyxn满足微分方程xyyye（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果求幂级数30(3)!nnxn的和函数【分析】考查幂级数的运算、xe的麦克劳林级数及求解二阶常系数非齐次微分方程。【详解】（Ⅰ）由于03)!3()(nnnxxy，所以311()(31)!nnxyxn，321()(32)!nnxyxn从而yyy3231311