公共基础数理化精讲班第一章高等数学三1531878946042

环球网校学员专用资料第1页/共4页第三节空间的曲面和曲线1.几种常用曲面含有,,xyz的一个等式(,,)0Fxyz或(,)zfxy表示空间的曲面，在这里只考虑几种简单的曲面。（1）母线平行于坐标轴的柱面C是xoy面内的定曲线，L是平行于z轴的直线，动直线L沿定曲线C移动形成的曲面叫做母线平行于z轴的柱面，其方程为0),(yxF。类似，母线平行于y轴的柱面方程为(,)0Gxz；母线平行于x轴的柱面方程为(,)0Hyz。例如：2yx是准线在xoy面内，母线平行于z轴的抛物柱面；221xz是准线在zox面内，母线平行于y轴的双曲柱面。【例题1-12】在三维空间中方程221yz所代表的图形是：（A）母线平行x轴的双曲柱面（B）母线平行y轴的双曲柱面（C）母线平行z轴的双曲柱面（D）双曲线解：由于方程中缺变量x，故是母线平行x轴的双曲柱面，应选（A）。（2）旋转轴为坐标轴的旋转曲面平面曲线绕其平面上一定直线旋转一周所成的曲面叫旋转曲面，定直线叫旋转曲面的轴。设yoz面内曲线C的方程为(,)00fyzx，该曲线绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程0),(22zyxf；绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为22(,)0fyxz。【例题1-13】yoz坐标面上的曲线210yzx绕oz轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是：A.221xyzB.21xyzC.2221yxzD.2221yxz解析：由于曲线是绕oz轴旋转，故旋转曲面的方程只需将21yz中的y换成22xy则可，故环球网校学员专用资料第2页/共4页得221xyz。答案：A【例题1-14】方程22214yxz，表示：（A）旋转双曲面（B）双叶双曲面（C）双曲柱面（D）锥面解析：这是双曲线22140yxz（或22140yzx）绕y旋转所生成的旋转双曲面。答案：A（3）常用二次曲面1）椭圆锥面：标准方程为22222xyzab2）椭球面：标准方程为1222222czbyax3)单叶双曲面：标准方程为1222222czbyax，如果ab，就是旋转双曲面。4)双叶双曲面：标准方程为2222221xyzabc，如果bc，就是旋转双曲面。5)椭圆抛物面：标准方程为2222xyzpq（p和q同号），如果pq，就是旋转抛物面。6)双曲抛物面：标准方程为2222xyzpq（p和q同号）,也叫马鞍面。【例题1-15】下列方程中代表锥面的是:(A)023222zyx(B)123222zyx(C)123222zyx(D)123222zyx环球网校学员专用资料第3页/共4页解:由二次曲面的标准方程知，22222203232xyxyzz，代表椭圆锥面；而123222zyx表单叶双曲面,123222zyx表双叶双曲面,123222zyx表椭球面,故应选(A).【例题1-16】在空间直角坐标系中，方程220xyz所表示的图形是：（A）圆锥面（B）圆柱面（C）球面（D）旋转抛物面提示：移项得22zxy，这是旋转抛物面。答案：D2.空间曲线在坐标面上的投影（1）空间曲线是两个曲面的交,所以空间曲线的一般方程为0),,(0),,(zyxGzyxF（2）空间曲线在坐标面上投影的概念经过空间曲线C，且垂直于xoy面柱面，称为曲线C在xoy面的投影柱面，投影柱面与xoy面的交线，就是空间曲线C在xoy面的投影。（3）空间曲线在坐标面上投影的方程设空间曲线C的一般方程为0),,(0),,(zyxGzyxF消去方程组中的变量z，得到方程0),(yxH，显然这是一个母线平行于z轴的柱面，又曲线C在该柱面上，故是曲线C在xoy面的投影柱面，因而曲线C在xoy面的投影方程为：00),(zyxH类似，从方程组中消去变量x，得到方程(,)0Gyz，曲线C在yoz面的投影方程为：环球网校学员专用资料第4页/共4页(,)00Gyzx同理，可得曲线C在zox面的投影方程。【例题1-17】曲线22244xyz与平面xza的交线在yoz平面上的投影方程是：(A)222()440azyzx;(B)2224()40xyaxz;(C)2224()40xyaxx;(D)222()44azyz解析：联立22244xyz和xza消去x，得投影柱面方程，222()44azyz。答案：A