第一课时正弦定理教案

11.1.1正弦定理教案一.课题导入如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,则sinsinsinabccABC从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB，C同理可得sinsincbCB，ba从而sinsinabABsincCAcB（2）当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生自己推导）思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。（证法二）：过点A作单位向量jAC，由向量的加法可得ABACCB则()jABjACCB∴jABjACjCB00cos900cos90jABAjCBC∴sinsincAaC，即sinsinacAC同理，过点C作jBC，可得sinsinbcBC，从而sinsinabABsincC从上面的研探过程，可得以下定理CABBCACABj2正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC思考：正弦定理的基本作用是什么？①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。[例题分析]题型一正弦定理的简单运用先看课本上的例1。补例1．在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，0180()CAB000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。练习：在ABC中，已知下列条件解三角形。（1）45A，30C，cmc10，（2）60A，45B，cmc20补例2．在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa因为00＜B＜0180，所以064B，或0116.B⑴当064B时，00000180()180(4064)76CAB，00sin20sin7630().sinsin40aCccmA⑵当0116B时，00000180()180(40116)24CAB，00sin20sin2413().sinsin40aCccmA3应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课堂练习第6页练习第1题。题型二正弦定理的综合运用先看课本例2。补例36tantan,4,22BACbacABC且有，中，在，试求ba,解：524sin215106sinsin,558sinsin,20.2tan,3tantantan,6tantan5)61(4tan)tantan1(tan)tantan1)(tan(tantanCabSCAcaCBcbABBABAbaBABACBABABAABC又，则且又思考题：1、P6第二题。在ABC中，sinsinabAB(o)sinckkC，这个k与ABC有什么关系？2、探索与研究课堂练习：第6页练习B第2/3题回过头来看课本的例一中四个小题，跟学生讨论已知两边和其中一边的对角解三角形时解得情况：例（1）在△ABC中，已知,5a,8c,30A求C、B和b；（结果保留两位小数）（2）在△ABC中，已知,5a,3c,30A求C、B和b。（结果保留两位小数）①、指导学生画出草图：指导：如何作图ⅰ、点A、B、C的位置；ⅱ、边a位置不定，仅有长度，如何表示？②、解答过程：（略）ABCABC2C14几个要注意的地方：I、第一小题中由精确度考虑，用正弦定理求b时应该用∠A=30°，而不应用∠C≈53.13°，以避免二次近似可能带来的误差。II、用正弦定理求角，必须要讨论，但这里利用“大边对大角”显得更为简洁。III、最后写答句的时候，应注意层次分明。反思：有几种方法可以判断角的个数？I、大边对大角；II、两角和是否小于180°；III、在△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＞sinB。例2。当A=30°，c=8，a=1时，△ABC有解吗？（无解）。提出问题：能否在计算之前就得到解的个数呢？（教师暗示：参考前面草图。）指出：当∠A确定时，解的个数由a、c的大小关系决定。直观图法：问题：若∠A（锐角）、边c确定，则边a的长至少为多少，△ABC才有解？（a≥c·sinA）指出：边a的另一端点C在以B为圆心，a为半径的圆上。此时，圆与射线l相切或相交。边a的长在什么范围内，△ABC有两解？（cac·sinA）此时，圆与射线l有两个交点。边a的长在什么范围内，△ABC有且仅有一解？(a≥c或a=c·sinA)此时，圆与射线l有且仅有一个交点。边a的长在什么范围内，△ABC无解？（ac·sinA）此时，圆与射线l没有交点。再问：当∠A为钝角或直角时情况又如何？ac：一解。a≤c：无解。理由：大边对大角。练习：在△ABC中，已知,5a,30A则当c在什么范围内时，b无解？有一解？有CBAcaalCBAlCBA5两解？已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）AbasinbaAbsinbaba一解两解一解一解三.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabckkABC或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。（3）已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）AbasinbaAbsinbaba一解两解一解一解四、课后练习：CBAcabB2aCAB1babaCABaBACbCBAcabB2aCAB1babaCABaBACb;,120,30,12)1(.10aBAbABC求已知中在.,,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知.,2,60,30)3(00caCBA求已知;,,60,1,3)1(.2CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(.,120,28,20)3(0解这个三角形已知aba6求，，中，已知、在。求，，中，已知、在,3310b4a60AABC4B,2b2a45AABC300B.5．自我提高(1)在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()A、1:2:3B、3:2:1C、1:3:2D、2:3:1(2)在ABC中，若3a=2bsinA，则B＝()A、3B、6C、323或D、656或(3))(,sinsinsin,222　　ABCCBAABC的形状是则若中在A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、不能确定