数学建模数学模型作业题

1一、对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k时段的价格1ky由第1k和k时段的数量1kx和kx决定，如果设1kx仍只取决于ky，给出稳定平衡的条件，并与6.4节的结果进行比较。（2）若除了1ky由1kx和kx决定之外，1kx也由前两个时段的价格ky和1ky确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。解：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一个时段的价格，所以第k+1时段的价格1ky由第k+1和第k时段的数量1kx和kx决定，设1ky由1kx和kx的平均值决定，即二者平均值21kkxx，模型为：1100100(),02(),0kkkkkxxyyxxxyy由此可以得到22022(1)kkkxxxx，其特征方程为022，得出其特征根：48--22,1）（当8时，有：4-48---22）（由以上可算出：22,1即：2所以与6.4节的结果相同，平衡点稳定的条件为2。（2）设kx也由ky和1ky的平均值决定，模型为：11001100(),02(),02kkkkkkxxyyxyyxxy2得32142kkkkxxxxc，c由00,,x,y决定，其特征方程为042423，该方程所有特征根1的条件（即平衡点稳定的条件）仍为2。二、在7.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h（1）分别就/4,/4,/4hrNhrNhrN这三种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点极其稳定状况。（2）如何获得最大持续产量，其结果与17.1节的产量模型有何不同？解：设时刻t的渔场中鱼的数量为()xt，则由题设条件知：()xt变化的模型为：()(1)dxtxrxhdtN即()(1)xFxrxhN（1）讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由()0Fx，得(1)0xrxhN即20rxrxhN（1）244()rhhrrrNN可以解得（1）：1,2412hNNrNx当/4hrN，0，（1）无实根，此时无平衡点；当/4hrN，0，得到两个平衡点：1412hNNrNx2412hNNrNx可以知道：当12Nx时，'1()0Fx；当22Nx时，'2()0Fx；平衡点1x不稳定，平衡点2x稳定。当/4hrN，0，（1）有两个相等的实根，平衡点为：302Nx''02()(1),()0xrxrxFxrrFxNNN所以不能断定其稳定性。当0xx及0xx均有()(1)04xrNFxrxN,即0dxdt，0x不稳定。（2）最大持续产量的数学模型为：max..F(x)0hst即max(1)xhrxN,可以得到*02Nx,此时4rNh，但是*02Nx这个平衡点不稳定。这是与17.1节的产量模型的不同之处。要获得最大产量，应使渔场鱼量2Nx,切尽量接近2N，但不能等于2N。三、与logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Compertz模型：()lnNxtrxx，其中r和N的意义与logistic模型相同。设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为hEx，讨论渔场鱼量的平均平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh及获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量水平0x。解：()xt变化规律的数学模型为：()lndxtNrxExdtx即()lnNFxrxExx（1）令()0,Fx得ln0NrxExx12,0ErxNex平衡点为12,xx，又'''12()ln,()0,()NFxrrEFxrFxx平衡点1x是稳定的，而平衡点2x不稳定。（2）最大持续产量的数学模型为：max..ln0,0hExNstrxExxx由前面的结果可得ErhENe4,EErrdhENNeedEr令0dhdE同时得到最大产量的捕捞强度mEr，从而得到最大持续产量mrNhe，此时渔场鱼量水平0Nxe。四、下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入1x千元，风险偏好度2x和人寿保险额y千元的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。请你通过表中的数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。序号y1x2x序号y1x2x119666.2907104937.408526340.96451110554.3762325272.99610129846.186748445.0106137746.1304512657.2044141430.366361426.8525155639.060574938.12241624579.380184935.84061713352.7668926675.79691813355.9166解：输入程序：x1=[66.29040.96472.99645.01057.20426.85238.12235.84075.79637.40854.37646.18646.13030.36639.06079.38052.76655.916];y1=[19663252841261449492664910598771456245133133];p=polyfit(x1,y1,2)x2=0:0.01:85;y2=polyval(p,x2);plot(x1,y1,'*',x2,y2)解得：p=0.03021.7886-60.5239可得：50102030405060708090-100-500501001502002503003501yx对的散点图从上图可以知道，随着1x的增加，y的值有明显向上弯曲的二次增长趋势，图中的曲线是用二次函数模型拟合的。（其中是随机误差）212110xxy（1）输入：x3=[7510645469527435186];q=polyfit(x3,y1,1)结果：q=13.521838.7434输入：x4=0:0.01:15;y3=polyval(q,x4);plot(x3,y1,'ro',x4,y3)得到：60510150501001502002503002yx对的一次散点图从图中可以发现，随着2x的增加，y的值比较明显的线性增长趋势，图中的曲线是用线性函数模型拟合的。（其中是随机误差）210xy（2）综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型21322110xxxy（3）（3）式右端的1x和2x称为回归变量，21322110xxx是给定年平均收入1x、风险偏好度2x时，人寿保险额y的值，其中的参数3210,,,称为回归系数。还有影响y的其它因素作用都包含在随机误差中。输入程序：formatshortex1=[66.29040.96472.99645.01057.20426.85238.12235.84075.79637.40854.37646.18646.13030.36639.06079.38052.76655.916];x2=[7510645469527435186];x3=x1.*x1;x0=ones(18,1);x=[x0x1'x2'x3'];y=[19663252841261449492664910598771456245133133];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x,0.05)结果：b=-6.2349e+0018.3959e-0015.6846e+0003.7082e-002bint=7-7.3503e+001-5.1195e+0013.9515e-0011.2840e+0005.2604e+0006.1089e+0003.3006e-0024.1157e-002r=-5.1227e-0023.0756e-001-1.3718e+000-6.7301e-001-3.7605e+000-1.3560e+0002.7129e+000-4.8166e-0015.1302e-001-3.7247e-0016.8423e-0012.6781e+000-1.0293e+000-3.9296e-0015.5615e-0011.3578e+0002.3248e+000-1.6456e+000rint=-3.7791e+0003.6766e+000-3.5324e+0004.1475e+000-4.4124e+0001.6688e+000-4.4677e+0003.1217e+000-6.6500e+000-8.7098e-001-4.2144e+0001.5023e+000-7.3438e-0016.1602e+000-4.2149e+0003.2516e+000-2.6183e+0003.6443e+000-4.1840e+0003.4390e+000-2.6447e+0004.0132e+000-7.2173e-0016.0779e+000-4.7396e+0002.6810e+000-3.8132e+0003.0272e+000-3.2676e+0004.3798e+000-4.6375e-0013.1793e+0008-1.0358e+0005.6855e+000-5.2685e+0001.9773e+000stats=9.9958e-0011.1070e+0047.4095e-0243.2518e+000由此得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平05.0）的结果见下表：参数参数估计值参数置信区间0-62.3489[-73.503-51.195]10.8396[0.39511.2840]25.6846[5.26046.1089]30.0371[0.03300.0412]同时得到检验统计量pFR,,2：2R=0.99958F=11070p=24104095.72R=0.99958指因变量y（保险额）的99.958%可由模型确定，F的值远远超过F的检验的临界值，p远小于，所以模型（3）比较合适。