高中数学三角函数1.2讲义

1/11高中数学任意角的三角函数及同角三角函数的关系知识点知识点一三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；(3)yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.作用：可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．体现了三角函数的周期性。知识点四三角函数的定义域正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R；正切函数y＝tanx的定义域是{x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}．知识点五三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.2/11知识点六同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosα(α≠kπ＋π2，k∈Z)．2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝sinαtanα.题型一三角函数定义的应用【例1】已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ.【例2】已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值；【过关练习】1.已知角α的终边在直线y＝3x上，求sinα，cosα，tanα的值．3/112.角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－35，则b的值为()A．3B．－3C．±3D．5题型二三角函数符号的判断【例1】判断下列三角函数值的符号：(1)sin3，cos4，tan5；(2)sin(cosθ)(θ为第二象限角)．【例2】若tanx0，且sinx－cosx0，则角x的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【过关练习】1.若sinθ0且tanθ0，则θ是第象限的角．2.使得lg(cosαtanα)有意义的角α是第象限角．题型三诱导公式一的应用【例1】求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin－11π6＋cos12π5·tan4π.【过关练习】1.求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan－15π4；(2)sin810°＋tan765°－cos360°.4/112．sin(－1380°)的值为()A．－12B.12C．－32D.323.求下列各式的值．(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)tan405°－sin450°＋cos750°.题型四利用三角函数线求角、解不等式【例1】根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cosα＝12；(2)tanα＝－1.【例2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ32.【例3】当α∈0，π2时，求证：sinααtanα.【过关练习】1.如果π4απ2，那么下列不等式成立的是()5/11A．cosαsinαtanαB．tanαsinαcosαC．sinαcosαtanαD．cosαtanαsinα2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线PM，正切线A′T′B．正弦线MP，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线PM，正切线AT3．在[0,2π]上，满足sinx≥12的x的取值范围为()A.0，π6B.π6，5π6C.π6，2π3D.5π6，π题型五求三角函数定义域【例1】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝sinx·tanx；(2)f(x)＝lgsinx＋9－x2.【过关练习】1.求函数f(x)＝1－2cosx＋lnsinx－22的定义域．2．函数y＝tanx－π3的定义域为()A.x|x≠π3，x∈RB.x|x≠kπ＋π6，k∈Z6/11C.x|x≠kπ＋5π6，k∈ZD.x|x≠kπ－5π6，k∈Z题型六三角函数知一求二【例1】已知cosα＝－817，求sinα，tanα的值．【例2】已知tanα＝2，求下列代数式的值．(1)4sinα－2cosα5cosα＋3sinα；(2)14sin2α＋13sinαcosα＋12cos2α.【过关练习】1.已知tanα＝43，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．2．已知α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα等于()A.513B．－513C.512D．－5123.已知tanα＝3，求下列各式的值．(1)3cosα－sinα3cosα＋sinα；(2)2sin2α－3sinαcosα.7/114．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.35题型七三角函数平方关系及其应用【例1】已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，求：(1)sinθ－cosθ；(2)sin3θ＋cos3θ.【例2】已知sinα＋cosα＝m，求sin3α＋cos3α的值．【过关练习】1.已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．(1)求sin3θ＋cos3θ的值；(2)求tanθ＋1tanθ的值．2.若sinA＝45，且A是三角形的一个内角，求5sinA＋815cosA－7的值．3.已知sinα＋cosα＝15，α∈(0，π)，则tanα的值是()A.34B．－34C.43D．－43题型八三角函数的化简证明【例1】已知α是第三象限角，化简：1＋sinα1－sinα－1－sinα1＋sinα.8/11【例2】证明三角恒等式cosα1－sinα＝1＋sinαcosα【例3】已知下列等式成立．(1)asinθ－bcosθ＝a2＋b2；(2)sin2θm2＋cos2θn2＝1a2＋b2.求证：a2m2＋b2n2＝1.【过关练习】1.若α是第三象限角，化简1＋cosα1－cosα＋1－cosα1＋cosα.2.求证：2sinxcosx－1cos2x－sin2x＝tanx－1tanx＋1.3.已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.课后练习【补救练习】1.若sinθcosθ0，则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限2.已知α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα等于()A.513B．－513C.512D．－5123.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“”或“”连接)：9/11(1)sin23π________sin45π；(2)cos23π________cos45π；(3)tan23π________tan45π.4.函数y＝lgcosx的定义域为________________．5.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合：(1)sinα≥22；(2)cosα≤12.6.已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sinα，cosα，tanα的值．【巩固练习】1.已知角α的终边上一点的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π6D.11π62．如果3π4θπ，那么下列各式中正确的是()A．cosθtanθsinθB．sinθcosθtanθC．tanθsinθcosθD．cosθsinθtanθ3.若0α2π，且sinα32，cosα12，则角α的取值范围是()A．(－π3，π3)B．(0，π3)C．(5π3，2π)D．(0，π3)∪(5π3，2π)4.已知sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sinθcosθ的值是()10/11A.34B．±310C.310D．－3105.已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα0，cosα≤0，则a的取值范围为．6.函数f(x)＝cos2x－sin2x的定义域为________________．7.化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是．8.已知sinα＝15，求cosα，tanα.9.判断下列各式的符号：(1)sin340°cos265°；(2)sin4tan－23π4；(3)sincosθcossinθ(θ为第二象限角)．10.求证：tanθ·sinθtanθ－sinθ＝1＋cosθsinθ.【拔高练习】1.若sin2xcos2x，则x的取值范围是()A．{x|2kπ－34πx2kπ＋34π，k∈Z}B．{x|2kπ＋π4xkπ＋54π，k∈Z}C．{x|kπ－π4xkπ＋π4，k∈Z}D．{x|kπ＋π4xkπ＋34π，k∈Z}2.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝.11/113.函数y＝|sinx|sinx＋|cosx|cosx－2|sinxcosx|sinxcosx的值域是．4.若α为第三象限角，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为．5.在△ABC中，2sinA＝3cosA，则角A＝.6.已知4sinθ－2cosθ3sinθ＋5cosθ＝611，求下列各式的值．(1)5cos2θsin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ.7.化简：1cos2α1＋tan2α－1＋sinα1－sinα(α为第二象限角)．8.证明：sinα－cosα＋1sinα＋cosα－1＝1＋sinαcosα；