1-3范数

1.3向量与矩阵范数1.3.1向量范数1.3.2范数的等价性1.3.3矩阵范数1.3.4矩阵范数的性质1.3.1向量范数向量范数的概念是复数模的概念的自然推广。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则范数的主要的应用：一、研究矩阵和向量的误差估计2、齐次性3、三角不等式1、非负性模函数提供了复数变量大小的度量满足以下三条件：()fxxaxaxxyxy0,x00xx范数某种意义上提供了向量或矩阵的大小的度量对任意的复数及，函数,xy1、非负性xx2、齐次性yxyx3、三角不等式称函数为上的一个向量范数nC100nxx0,xC对任意向量和及复数，xy函数满足以下三条件：()fxx,),,,(21Tnxxxx设任意n维向量(为向量x的转置）。Tx常用的向量范数为：p-范数niix11x12221nHiixxxx(xH为向量x的共轭转置）inixx1maxxx,pxpnipip1,11x特别的，表示的模。ixixWxxW加权的范数：一般情况下，对给定的任意一种向量范数，是它的每一个分量的权系数。其中W为对角矩阵，加权的1-范数为：1xxWW1321200030001xxx32123xxx3321),,(CTxxxx,20003000133CW例如,对任加权的2-范数为：2Wxwx2123222149xxx可定义出其对角元素例对任给3321),,(CxTxxx,试问如下实值函数是否构成向量范数？,2.1321xxx,52.2321xxx,.3434241xxx32123.4xxx故，1.和2.不满足非负性条件。3.不满足齐次性条件；4.满足加权向量范数的定义，故构成向量范数。23152,0xxx2.中取2312,0xxx1.中取？？？？√答：444123fxxxx4444123,xxx1x2xxT4,2,1x例：求向量的１，2和∞-范数。解：;7421222421。44,2,1max21xxxn11211xxxn221xxxn上可以定义各种向量范数，其数值大小一般不同。nC在或者但是在各种向量范数之间存在下述重要的关系1.3.2向量范数的等价性212nnxxxxx（向量范数的等价性定理）上的任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的正常数c1＞0和c2＞0，使得下面的不等式成立xxx21cc并称和为上的等价范数。nC定理1.1nC和为设（向量序列收敛性定理）其中定理lim0,kiikxx则,nkCx设lim0kkxxni,,2,1,,,,21Tknkkkxxxx12,,,Tnxxx。xlimkkx=x向量收敛分量收敛范数收敛1.3.3矩阵范数矩阵可以看做是一个向量向量范数的概念直接推广到矩阵上？推广应考虑到矩阵的乘法运算AA（2）齐次性BABA（3）三角不等式则称函数为上的一个矩阵范数。mnCAA)(f即对任意矩阵A、B以及任意复常数C，若该函数满足以下条件：‖A‖≥0当且仅当A=0m×n时‖A‖=0BAAB（4）相容性定义1.2定义在Cm×n上的一个非负实值函数，记为,lmCAnlCB（1）非负性minjijma111A21112minjijFaA矩阵的-范数和Frobenius范数（简称F-范数）1m,nmnmijaCAijijaAfmax,000011A,001001B,000000002AB2,fAB,1BfAfBfAfABfmaxijmijAmna例：设，问是否构成A的一种范数？则可得出故不构成A的一种范数。若定义实值函数：，则可验证其构成A的一种范数。解：取那么，（矩阵范数的等价性定理）上的任意两种矩阵范数，C1＞0和C2＞0，使得下面的不等式成立12ccAAA并称和为上的等价范数。mnC定理矩阵范数具有向量范数的一切性质（矩阵序列收敛性定理）其中定理lim0,kijijkaa则,mnkCA设lim0kkAA1,2,,im,kmnkijijaaC。AAlimkkA=A1,2,,jnmnC和为设则存在两个与矩阵无关的正常数矩阵收敛元素收敛范数收敛0detAIA定义称如下集合为矩阵的谱nnCA称如下实数为矩阵的谱半径nnCAiimaxA2．算子范数VVMxAxAx0max则是一种矩阵范数。MA定理1.2称由如上关系式定义的矩阵范数为从属向量范数的矩阵范数简称从属范数或算子范数．VVAxx1max若定义miijnja111maxA)(max2AAAHnjijmia11maxA（列和范数）（行和范数）（1）（2）（3）（谱范数）其中表示矩阵AHA的最大特征值；定理1.3几种常用的算子范数()H或AA在向量范数中，最常用的范数为向量的1-范数、2-范数和∞-范数，下面分别给出从属这三种向量范数的矩阵范数。max()HAA221AAA可以证明：nnRI对任何算子范数，单位矩阵的范数值为1，即推论xIxIx0max1max0xxx、1mAmA不是算子范数。ninjijma111IninjijFa112Ini111nni1211n特殊矩阵：单位矩阵的范数？？？F、AmnnI1,maxijijna1nA,420420001、1A、2A、A设求例2、1mA。FA3111maxiijnjaA311maxjijniaA解：31311jijimaA31231jijiFaA66,6,1max1nj88,4,1max1nj134242122224242141TAA4402200014204200013200080001AAITdet2A令得320008000103281)(maxAAT2432对于酉矩阵，我们可有如下的结论：IUUUUHH,12U222AUAAU2222022maxxUxUx事实上，xx,UxUx,x0maxxx,xUx,UHx0max1max0xx,xx,x（酉矩阵的范数不变性）2222022maxxxUAUAxxx,xUAx,UAx0maxxx,xx,UAUAHx0max2222220maxAxAxxxx,xx,UAUAHHx0maxxx,xx,AAHx0maxxx,AxAx,x0max2222022maxxxAUAUxxx,xAUx,AUx0max2222220maxAyAyyxx,UxA,UxAx0maxyU,yUAyAy,HHy0max22220maxyUAyHy1.3.3矩阵范数的性质MAA)(vvxAxMAA)(证故得到．MvAxvx设‖·‖M为矩阵Cn×n空间的任一矩阵范数，任意的n阶方阵A均有定理1.４则对其中为方阵A的谱半径。()A，)(A从而设则存在向量满足0x，Axx，定理1.5)(AAM)(BBM注：定理1.５中的矩阵范数‖·‖M与给定的矩阵A有关。针对矩阵A构造的矩阵范数‖·‖M,对于另一个矩阵B,不等式不一定成立。？M对于任给的,则存在Cn×n上的一种算子范数0（依赖矩阵A和常数），使得)(max2maxmax2AAAAAAT问实值函数可不可以作为的一种范数？)(A0010TBA,0)(A1)(BA0)(BA)(BA0)(BA注意：当TAA时，取，则有，而；从而，即有故不可以作为的一种范数。0)(B111IAAAAIIAI11111IAA,1ACn×n上的一种算子矩阵范数‖·‖,如果A∈Cn×n,定理1.6IA1IA1AI1AI整理后便可得:证则矩阵I±A的特征值为：10,ii从而可知1det0,niiIA即I±A可逆。1IAIAAI1I1IIAAAAII1AAI11进一步则I±A可逆，且非零特征值,ni,,2,1且由定理1.4可得，。设为矩阵A的任意()1AAiVMVxAAx对于一种矩阵范数‖·‖M和一种向量范数‖·‖V如果对任意m×n矩阵A和任意n维向量x,满足则称矩阵范数‖·‖M与向量范数‖·‖V是相容的。定义1.3pmpxAAx1矩阵m1-范数与向量的p-范数是相容的，即矩阵的F-范数与向量的2-范数是相容的，即22xAAxF可以证明任意一种矩阵范数必然存在与之相容的向量范数希望矩阵范数与向量范数之间最好有某种协调性。矩阵与向量的乘积在矩阵计算中经常出现，所以我们自然可以证明：1.任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数（如算子范数）。2.一个矩阵范数可以与多种向量范数相容（矩阵的m1-范数与向量的p-范数相容）；多种矩阵范数可以与一个向量范数相容（矩阵的F-范数、2-范数与向量的2-范数相容）。3.算子范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。（矩阵的F-范数与向量的2-相容，但无从属关系）。4.并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。,0011A,11x,11A,1x2Ax故矩阵的与向量的不相容。1取则有矩阵范数与向量范数不相容的例子：而xA1