高考三角函数专题(3个)

三角函数专题1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、知识点1、弦长和扇形面积公式：𝐥=𝛂∙𝐫，𝐬=𝟏𝟐𝐥𝐫=𝟏𝟐𝛂𝐫𝟐2、图像变换：𝐲=𝐬𝐢𝐧𝐱→𝐲=𝐜𝐨𝐬⁡(𝟐𝐱+𝛑𝟑)，先平移后伸缩，先伸缩后平移。3、𝐲=𝐬𝐢𝐧𝐱,𝐲=𝐜𝐨𝐬𝐱图像和性质：单调区间，对称轴和对称中心等。二、练习1.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=𝟏𝟐×(弦×矢+矢 𝟐)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角𝟐𝝅𝟑，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(√𝟑≈𝟏.𝟕𝟑)()A.16平方米B.18平方米C.20平方米D.25平方米2.如图，圆锥的底面直径𝑨𝑩=𝟐，母线长𝑽𝑨=𝟑，点C在母线长VB上，且𝑽𝑪=𝟏，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A.√𝟏𝟑B.√𝟕C.𝟒√𝟑𝟑D.𝟑√𝟑𝟐3.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点()A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动𝝅𝟖个单位长度B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动𝝅𝟒个单位长度C.横坐标缩短到原来的𝟏𝟐(纵坐标不变)，再向右平行移动𝝅𝟒个单位长度D.横坐标缩短到原来的𝟏𝟐(纵坐标不变)，再向左平行移动𝝅𝟖个单位长度4.函数𝒇(𝒙)=sin(𝝎𝒙+𝝋)(𝝎0,|𝜑|𝝅𝟐)的最小正周期为𝝅，若其图象向左平移𝝅𝟔个单位后得到的函数为奇函数，则函数𝒇(𝒙)的图象()A.关于点(𝟕𝝅𝟏𝟐,𝟎)对称B.关于点(−𝝅𝟏𝟐,𝟎)对称C.关于直线对称D.关于直线𝒙=𝟕𝝅𝟏𝟐对称5.已知函数𝒇(𝒙)=sin(𝝎𝒙+𝝋)(𝝎0,|𝜑|≤𝝅𝟐)，𝒙=−𝝅𝟒为𝒇(𝒙)的零点，𝒙=𝝅𝟒为𝒚=𝒇(𝒙)图象的对称轴，且𝒇(𝒙)在(𝝅𝟏𝟖,𝟓𝝅𝟑𝟔)上单调，则𝝎的最大值为()A.11B.9C.7D.56.将函数𝒇(𝒙)=√𝟑cos(𝟐𝒙+𝝅𝟑)−𝟏的图象向左平移𝝅𝟑个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数𝒈(𝒙)的图象，则函数𝒈(𝒙)具有性质______.(填入所有正确性质的序号)①最大值为√𝟑，图象关于直线𝒙=−𝝅𝟑对称；②图象关于y轴对称；③最小正周期为𝝅；④图象关于点(𝝅𝟒,𝟎)对称；⑤在(𝟎,𝝅𝟑)上单调递减．7.如图为函数𝒇(𝒙)=𝑨𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒙+𝝋)(𝑨0,𝜔0,|𝜑|𝝅𝟐,𝒙∈𝑹)的部分图象．(𝟏)求函数解析式；(𝟐)求函数𝒇(𝒙)的单调递增区间；(𝟑)若方程𝒇(𝒙)=𝒎在[−𝝅𝟐,𝟎]上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围．8.已知函数，𝒙∈𝑹．(𝟏)求函数𝒇(𝒙)的单调区间；(𝟐)若把𝒇(𝒙)向右平移𝝅𝟔个单位得到函数𝒈(𝒙)，求𝒈(𝒙)在区间[−𝝅𝟐,𝟎]上的最小值和最大值．9、计算：(𝟏)已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(𝟐)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？三角函数专题2解三角形，求面积，求最值。1、在△𝑨𝑩𝑪中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且𝒄=𝟐，𝑪=𝟔𝟎°．(𝟏)求𝒂+𝒃𝐬𝐢𝐧𝐀+𝐬𝐢𝐧𝐁的值；(𝟐)若𝒂+𝒃=𝒂𝒃，求△𝑨𝑩𝑪的面积𝑺△𝑨𝑩𝑪.2、△𝑨𝑩𝑪的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(𝑨+𝑪)=𝟖𝒔𝒊𝒏𝟐𝑩𝟐．(𝟏)求cosB；(𝟐)若𝒂+𝒄=𝟔，△𝑨𝑩𝑪的面积为2，求b．3、在△𝑨𝑩𝑪中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，𝒄.已知𝒃+𝒄=𝟐𝒂𝒄𝒐𝒔𝑩.(Ⅰ)证明：𝑨=𝟐𝑩;(Ⅱ)若△𝑨𝑩𝑪的面积𝑺=𝒂𝟐𝟒，求角A的大小．4、如图，在△𝑨𝑩𝑪中，∠𝑩=𝝅𝟑，𝑨𝑩=𝟖，点D在边BC上，且𝑪𝑫=𝟐，cos∠𝑨𝑫𝑪=𝟏𝟕．(𝟏)求sin∠𝑩𝑨𝑫；(𝟐)求BD，AC的长．多个三角形5、如图，在△𝑨𝑩𝑪中，点P在BC边上，∠𝑷𝑨𝑪=𝟔𝟎°，𝑷𝑪=𝟐，𝑨𝑷+𝑨𝑪=𝟒．(Ⅰ)求∠𝑨𝑪𝑷；(Ⅱ)若△𝑨𝑷𝑩的面积是𝟑√𝟑𝟐，求sin∠𝑩𝑨𝑷．多个三角形6、△𝑨𝑩𝑪中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且．(𝟏)求的值；(𝟐)若𝒂=√𝟑，求△𝑨𝑩𝑪面积的最大值．最值问题7、设△𝑨𝑩𝑪的内角A、B、C的对边长分别为a、b、𝒄.设S为△𝑨𝑩𝑪的面积，满足𝑺=√𝟑𝟒(𝒂𝟐+𝒄𝟐−𝒃𝟐)．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若𝒃=√𝟑，求(√𝟑−𝟏)𝒂+𝟐𝒄的最大值．最值问题8、如图，OAB是一块半径为1，圆心角为𝝅𝟑的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧AB上，记．(Ⅰ)写出矩形CDEF的面积S与角𝜽之间的函数关系式；(Ⅱ)当角𝜽取何值时，矩形CDEF的面积最大？并求出这个最大面积．三角函数应用9、某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为𝟒.𝟓𝒌𝒎，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离𝑩𝑪=𝟒√𝟑𝒌𝒎；D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设𝑪𝑫=𝒙(𝒌𝒎)，点D对跑道AB的视角为𝜽．(𝟏)将𝐭𝐚𝐧𝜽表示为x的函数；(𝟐)求点D的位置，使𝜽取得最大值．三角函数应用三角函数专题3—真题一、填空题（本大题共2小题，共10.0分）1、若△𝑨𝑩𝑪的内角满足𝒔𝒊𝒏𝑨+√𝟐𝒔𝒊𝒏𝑩=𝟐𝒔𝒊𝒏𝑪，则cosC的最小值是______．2、在平面四边形ABCD中，∠𝑨=∠𝑩=∠𝑪=𝟕𝟓°，𝑩𝑪=𝟐，则AB的取值范围是________．二、解答题（本大题共3小题，共36.0分）（简单）3、在△𝑨𝑩𝑪中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知𝟒𝒔𝒊𝒏𝟐𝑨−𝑩𝟐+𝟒𝒔𝒊𝒏𝑨𝒔𝒊𝒏𝑩=𝟐+√𝟐．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)已知𝒃=𝟒，△𝑨𝑩𝑪的面积为6，求边长c的值．4、在△𝑨𝑩𝑪中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，𝒄.已知𝒂≠𝒃，𝒄=√𝟑，𝐜𝐨𝐬𝟐𝑨−𝐜𝐨𝐬𝟐𝑩=√𝟑𝒔𝒊𝒏𝑨𝒄𝒐𝒔𝑨−√𝟑𝒔𝒊𝒏𝑩𝒄𝒐𝒔𝑩．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若𝒔𝒊𝒏𝑨=𝟒𝟓，求△𝑨𝑩𝑪的面积．5、如图，O，P，Q三地有直道相通，𝑶𝑷=𝟑千米，𝑷𝑸=𝟒千米，𝑶𝑸=𝟓千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为𝒇(𝒕)(单位：千米).甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设𝒕=𝒕𝟏时乙到达P地，𝒕=𝒕𝟐时乙到达Q地．(𝟏)求𝒕𝟏与𝒇(𝒕𝟏)的值；(𝟐)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当𝒕𝟏≤𝒕≤𝒕𝟐时，求𝒇(𝒕)的表达式，并判断𝒇(𝒕)在[𝒕𝟏,𝒕𝟐]上的最大值是否超过3？说明理由．6、如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(𝑶𝑪为河岸)，𝐭𝐚𝐧∠𝑩𝑪𝑶=𝟒𝟑．(𝟏)求新桥BC的长；(𝟐)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？三角函数1（答案和解析）1.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的应用，属于基础题．在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐷中，由题意𝑂𝐴=6，∠𝐷𝐴𝑂=𝜋6，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，利用公式计算求值即可．【解答】解：如图，由题意可得：∠𝐴𝑂𝐵=2𝜋3，𝑂𝐴=6，在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐷中，可得：∠𝐴𝑂𝐷=𝜋3，∠𝐷𝐴𝑂=𝜋6，𝑂𝐷=12𝐴𝑂=12×6=3，可得：矢=6−3=3，由𝐴𝐷=𝐴𝑂⋅sin𝜋3=6×√32=3√3，可得：弦=2𝐴𝐷=2×3√3=6√3，所以：弧田面积=12(弦×矢+矢 2)=12(6√3×3+32)=9√3+4.5≈20平方米．故选C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，属于中档题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，化曲面为平面，进而根据“两点之间线段最短”用勾股定理解决，得出结果．【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2𝜋，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为𝛼，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2𝜋=3𝛼，解得：𝛼=2𝜋3，∴∠𝐴𝑉𝐴′=2𝜋3，则∠1=𝜋3，过C作𝐶𝐹⊥𝑉𝐴，∵𝑉𝐶=1，∠1=𝜋3，∴∠𝑉𝐶𝐹=𝜋6，∴𝐹𝑉=12，∴𝐶𝐹2=𝐶𝑉2−𝑉𝐹2=34，∵𝐴𝑉=3，𝐹𝑉=12，∴𝐴𝐹=52，在𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐶中，利用勾股定理得：𝐴𝐶2=𝐴𝐹2+𝐹𝐶2=7，则𝐴𝐶=√7．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的诱导公式和函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，属于基础题．由可得解．【解答】解：将函数𝑦=√2cos(2𝑥−𝜋4)的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍，得到，再向右平行移动𝜋4个单位长度，即可得到的图象．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0,|𝜑|𝜋2)的最小正周期为2𝜋𝜔=𝜋，解得𝜔=2，其图象向左平移𝜋6个单位后得到的函数为𝑦=sin[2(𝑥+𝜋6)+𝜑]=sin(2𝑥+𝜋3+𝜑)，再根据𝑦=sin(2𝑥+𝜋3+𝜑)为奇函数，∴𝜋3+𝜑=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，即𝜑=𝑘𝜋−𝜋3，又因为|𝜑|𝜋2，可取𝜑=−𝜋3，故𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋3)，当𝑥=7𝜋12时，𝑓(𝑥)=12≠0，且𝑓(𝑥)=12不是最值，故𝑓(𝑥)的图象不关于点(7𝜋12,0)对称，也不关于直线𝑥=7𝜋12对称，故排除A、D，当𝑥=−𝜋12时，𝑓(𝑥)=sin(−𝜋2)=−1，是函数的最小值点，故𝑓(𝑥)的图象不关于点(−𝜋12,0)对称，但关于直线𝑥=−𝜋12对称．故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象和性质的综合运用，本题转化困难，属于中档题．根据已知可得𝜔为正奇数，且𝜔≤12，结合𝑥=−𝜋4为𝑓(𝑥)的零点，𝑥=𝜋4为𝑦=𝑓(𝑥)图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合𝑓(𝑥)在(𝜋18,5𝜋36)上单调，可得𝜔的最大值．【解答】解：∵𝑥