必修五单元综合测试一(第一章综合测试)

单元综合测试一(第一章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．在△ABC中，a＝80，b＝100，∠A＝45°，则此三角形解的个数是()A．0个B．1个C．2个D．1个或2个【答案】C【解析】由题意bab·sinA.所以有两解．2．若△ABC的三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角的度数为()A．150°B．135°C．120°D．60°【答案】A【解析】由题设可得a2＋b2－c2＝－3ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝－32，故∠C＝150°，所以选A.3．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为()A.4003mB.20033mC.40033mD.2003m【答案】A【解析】如图所示，山顶A对塔顶D，塔底C的俯角分别为30°，60°，有∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∠BCA＝60°，BC＝2003(m)，AC＝4003(m)，∠ACD＝30°＝∠CAD.根据余弦定理，知AD＝CD＝AC3＝4003(m)．4．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于()A.63B.62C.12D.32【答案】A【解析】由∠B＝45°，∠C＝60°知∠A＝75°，∴边b最短．由正弦定理得b＝csinC·sinB＝63.5．在△ABC中，若cosAcosB＝ba，且cosBcosC＝cb，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．正三角形【答案】D【解析】由cosAcosB＝ba得∠A＝∠B或∠A＋∠B＝π2，由cosBcosC＝cb得∠B＝∠C或∠B＋∠C＝π2.∴∠A＝∠B＝∠C，即△ABC为正三角形．6．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察点C北偏东30°处，灯塔B在观察站C南偏东30°处，测两灯塔A、B间的距离为()A．400米B．500米C．800米D．700米【答案】D【解析】由题意知∠ACB＝120°，AC＝300米，BC＝500米，在△ABC中，AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3002＋5002－2×300×500×－12＝700(米)．故选D.7．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将()A．不能作出满足要求的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形【答案】D【解析】设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得S＝12a·113＝12c·15＝12b·111，∴a＝26S，c＝10S，b＝22S.由大角对大边得26S所对应的角最大，∴cosA＝10S2＋22S2－26S22·10S·22S＝－231100，又∠A∈(0，π)，∴∠A为钝角，∴D正确．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若∠B＝2∠A，a＝1，b＝3，则c＝()A．23B．2C.2D．1【答案】B【解析】本题考查正弦定理、二倍角公式等．由正弦定理得1sinA＝3sinB＝3sin2A＝32sinAcosA，即2sinAcosA＝3sinA，又sinA0，∴cosA＝32，∠A＝π6，∠B＝π3，∠C＝π2，∴c＝2.9．在△ABC中，a＋b＋10c＝2(sinA＋sinB＋10sinC)，A＝60°，则a等于()A.3B．23C．4D．不确定【答案】A【解析】由已知及正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入有k(sinA＋sinB＋10sinC)＝2(sinA＋sinB＋10sinC)，∴k＝2.∴asinA＝2.a＝2sinA＝2sin60°＝3，选A.10．已知锐角△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．x2B．x2C．2x22D．2x23【答案】C【解析】∵三角形有两解，如图，∴bCD＝asin45°.∴x222＝22.11．在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106m(如图所示)．旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度为50秒，升旗手应以多少(米/秒)的速度升旗()A.15B.35C.35D.65【答案】B【解析】∠ABC＝180°－60°－15°＝105°，∠CAB＝180°－105°－45°＝30°.∴AB＝BCsin∠CAB·sin∠BCA＝106sin30°·sin45°＝203.在Rt△OAB中，OA＝ABsin∠ABO＝203·sin60°＝30.∴v＝3050＝35(米/秒)．故选B.12．若△ABC的三边为a，b，c，且f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2，则f(x)的图象()A．与x轴相切B．在x轴上方C．在x轴下方D．与x轴交于两点【答案】B【解析】Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(2bccosA)2－4b2c2＝4b2c2(cos2A－1)0.二、填空题(每小题4分，共16分)13．△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________．【答案】a2＋b2c2【解析】cosC＝a2＋b2－c22ab，∵∠C为钝角，∴cosC0，∴a2＋b2－c20，故a2＋b2c2.14．(2013·安徽理)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.[答案]2π3[解析]∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b，又b＋c＝2a，∴a＝53b，c＝7b3，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝53b2＋b2－7b322×53b×b＝－12.又∵∠C为△ABC的内角，故∠C＝2π3.15．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.【答案】302【解析】如图所示，由已知条件，得AC＝60km，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∠ABC＝45°.由正弦定理得：BC＝ACsin∠BACsinB＝302.16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB＝________.【答案】4【解析】∵ba＋ab＝6cosC，∴ba＋ab＝6·a2＋b2－c22ab，化简得a2＋b2＝32c2，则tanCtanA＋tanCtanB＝tanC·sinBcosA＋sinAcosBsinAsinB＝tanCsinA＋BsinAsinB＝sin2CcosCsinAsinB＝c2a2＋b2－c22ab·ab＝4.三、解答题(共74分，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明步骤.)17．(12分)在△ABC中，(1)若a＝6，b＝2，c＝3＋1，求∠A，∠B，∠C及S△ABC；(2)已知b＝4，c＝8，∠B＝30°，求∠C，∠A与a.【解析】(1)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝22＋3＋12－62×2×3＋1＝12，所以∠A＝60°.同理cosB＝a2＋c2－b22ac＝22，即∠B＝45°.故∠C＝180°－60°－45°＝75°.所以S△ABC＝12bc·sinA＝12×2×(3＋1)sin60°＝3＋32.(2)由正弦定理，得sinC＝csinBb＝8sin30°4＝1.又因为30°∠C150°，所以∠C＝90°.所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－120°＝60°.所以a＝c2－b2＝43.18．(12分)在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝－lg2，且∠B为锐角，试判断此三角形的形状．【解析】∵lgsinB＝－lg2，∴sinB＝22，又∵0°∠B90°，∴∠B＝45°，由lga－lgc＝－lg2，得ac＝22.由正弦定理得sinAsinC＝22，即2sin(135°－C)＝2sinC，即2(sin135°cosC－cos135°sinC)＝2sinC.∴cosC＝0，得∠C＝90°.又∵∠B＝45°，∴∠A＝45°，从而△ABC是等腰直角三角形．19．(12分)如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．【解析】在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BDcos∠ADB.设BD＝x，有142＝102＋x2－2×10xcos60°，x2－10x－96＝0.∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，可得BC＝16sin135°·sin30°＝82.20．(12分)(2013·北京理，15)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．【解析】思路分析：(1)根据已知条件∠B＝2∠A，结合正弦定理求∠A的余弦值；(2)由cosA求得sinA，及sinB，cosB，从而求出sinC＝sin(A＋B)．解：(1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得3sinA＝26sin2A，所以2sinAcosAsinA＝263，故cosA＝63.(2)由(1)知cosA＝63，所以sinA＝1－cos2A＝33.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝13.所以sinB＝1－cos2B＝223，在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝539.所以c＝asinCsinA＝5.21．(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2sin2C＝3cosC，c＝7，又△ABC的面积为332，求：(1)角C的大小；(2)a＋b的值．【解析】(1)由已知得2(1－cos2C)＝3cosC，cosC＝12或cosC＝－2(舍去)，∴在△ABC中，∠C＝60°.(2)∵S△ABC＝12absinC＝332，∴12absin60°＝332，∴ab＝6.又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴(7)2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2－ab＝7.∴a2＋b2＝13.∴a＋b＝a2＋b2＋2ab＝13＋12＝5.22．(13分)小明在岛上的点A处，上午11点测得在A的北偏东60°的C处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西60°的B处，12时40分时又测得该轮船到达位于A正西方5km的港口E处，如果该船始终保持匀速直线运动．求：(1)点B到A的距离；(2)轮船的航行速度．【解析】(1)轮船从C处到点B用了80分钟，从点B到点E用了20分钟，轮船保持匀速直线运动，故BC＝4BE.设BE＝x，则BC＝4x，EC＝5x.在△AEC中，由正弦定理，得sinC＝AEsin∠EACEC＝5sin150°5x＝12x.在△ABC中，由正弦定理，得AB＝BCsinCsin120°＝4x·12xsin120°＝433(km)．(2)在△ABE中，由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcos30°＝163＋25－2×5×433cos30°＝313，BE＝933.故轮船的航行速度为933÷2060＝93(km/h)．