选修2-1第一章椭圆的几何性质课时作业

课时作业10椭圆的几何性质时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆的方程为()A.x26＋y24＝1B.x236＋y232＝1C.x236＋y232＝1或y236＋x232＝1D.x26＋y24＝1或y26＋x24＝1【答案】C【解析】2a＝12，a＝6，e＝ca＝13，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，又∵焦点位置不确定，故选C.2．(2013·四川文)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.24B.12C.22D.32【答案】C【解析】根据x2a2＋y2b2＝1可得F1(－c,0)，P(－c，b2a)，故OP与AB的斜率分别是kOP＝－b2ac，kAB＝－ba，根据OP∥AB得－b2ac＝－ba，即b＝c.由于a2＝b2＋c2，即a2＝2c2，故e＝ca＝22.3．椭圆x24＋y29＝1与曲线x29－k＋y24－k＝1(0k4)的关系是()A．有相等的焦距，相同的焦点B．有相等的焦距，不同的焦点C．有不相等的焦距，相同的焦点D．有不相等的焦距，不同的焦点【答案】B【解析】椭圆x24＋y29＝1的焦点在y轴上，曲线x29－k＋y24－k＝1(0k4)是椭圆，焦点在x轴上，所以排除A，C，又c2＝(9－k)－(4－k)＝9－4＝5，所以有相等的焦距．4．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为()A.12B.32C.22D.33【答案】C【解析】由题意知2c＝2a，e＝ca＝22.5．若方程(k2－6)x2＋5ky2－5k(k2－6)＝0表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(－6,6)B．(－6,0)C．(6，6)D．(－6，6)【答案】C【解析】椭圆方程可化为x25k＋y2k2－6＝1，由椭圆的焦点在x轴上，可知5kk2－6，k2－60，解得6k6.6．已知F(c,0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为m，最小值为n，则椭圆上与点F的距离为m＋n2的点是()A．(c，±b2a)B．(c，±ba)C．(0，±b)D．不存在【答案】C【解析】由题意得m＝a＋c，n＝a－c，∴m＋n2＝a，故与F距离为a的点是短轴的两个端点．二、填空题(每小题10分，共30分)7．椭圆的一个顶点为(0,2)，离心率为e＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．【答案】316x2＋y24＝1或y24＋x23＝1【解析】当点(0,2)为长轴的一个端点时，a2＝4，又ca＝12，∴c＝1，∴b2＝3，椭圆方程为y24＋x23＝1；当点(0,2)为短轴的一个端点时，b2＝4，又ca＝12，且a2＝b2＋c2，∴a2＝163，椭圆方程为316x2＋y24＝1.8．已知椭圆x29＋y24＝1内一点P(2,1)，则过点P且被P平分的弦所在的直线方程为________．【答案】8x＋9y－25＝0【解析】弦所在直线与椭圆的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由y1－y2x1－x2＝－b2x0a2y0，得kAB＝－4×29×1＝－89，所以直线方程为y＝－89(x－2)＋1，即8x＋9y－25＝0.9．若椭圆两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程是________．【答案】x225＋y29＝1【解析】当P是椭圆短轴端点时，△PF1F2的面积最大，则12b×2c＝12.由c＝4得b＝3，故a＝5，椭圆方程为x225＋y29＝1.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1，那么当m取何值时，直线l与椭圆C满足下列条件？(1)相交；(2)相切；(3)相离．【分析】将直线的方程与椭圆的方程联立组成方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，由方程的根的情况判断直线与椭圆的位置关系．【解析】直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②并整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③方程③的判别式为Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)由Δ0得－32m32，于是当－32m32时，方程③有两个不相等的实数根，可知方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点，即直线l与椭圆C相交．(2)由Δ＝0得m＝±32，也就是当m＝±32时，方程③有两个相等的实数根，可知方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点，即直线l与椭圆C相切．(3)由Δ0得m－32或m32，也就是当m－32或m32时，方程③没有实数根，可知方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点，即直线l与椭圆C相离．11．(13分)设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，求PF1→·PF2→的最大值和最小值．【解析】由题意知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为x∈[－2,2]，所以当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1→·PF2→有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1→·PF2→有最大值1.12．(14分)(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.(1)若点C的坐标为(43，13)，且BF2＝2，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．【解析】(1)由题意，F2(c,0)，B(0，b)，|BF2|＝b2＋c2＝a＝2，又C(43，13)，∴4322＋132b2＝1，解得b＝1.∴椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)直线BF2方程为xc＋yb＝1，与椭圆方程x2a2＋y2b2＝1联立方程组，解得A点方程为(2a2ca2＋c2，b－2a2ba2＋c2)，则C点坐标为(2a2ca2＋c2，2a2ba2＋c2－b)，kF1C＝2a2ba2＋c2－b2a2ca2＋c2＋c＝a2b－bc23a2c＋c3，又kAB＝－bc，由F1C⊥AB得a2b－bc23a2c＋c3·(－bc)＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，∴(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝ca＝55.