数学分析2期末考试题库

数学分析2期末试题库《数学分析II》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、牛顿-莱不尼兹公式2、an收敛的cauchy收敛原理n13、全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）x2sint2dt1、lim0x4x02、求由曲线yx2和xy2围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。3、求xn的收敛半径和收敛域，并求和n1n(n1)y2u4、已知uxz，求xy三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分xp1exdx的敛散性03、讨论函数列Sn(x)x21x(,)的一致收敛性n2四、证明题（每小题10分，共20分）1、设xn0,xn111(n1,2)，证明xn发散xnnn12、证明函数f(x,y)xyx2y20x2y2x2y2在（0，0）点连续且可偏导，00但它在该点不可微。，《数学分析II》考试题（2）一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、叙述反常积分bcauchy收敛原理f(x)dx,a为奇点收敛的a2、二元函数f(x,y)在区域D上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分）1、lim(111)nn1n22n2、求摆线xa(tsint)[0,2]与x轴围成的面积ya(1tcost)3、求(cpv)1xdx1x24、求幂级数(x1)n的收敛半径和收敛域n1n25、uf(xy,x)，求2uyxy三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、f(x,y)xy2，求limlimf(x,y),milmilf(x,y)；limf(x,y)是否存在？xyx0y0y0x0(x,y)(0,0)为什么？2、讨论反常积分arctanx0xpdx的敛散性。3、讨论n3(2(1)n)n的敛散性。n13n四、证明题：（每小题10分，共20分）1、设f（x）在[a,b]连续，f(x)0但不恒为0，证明b()0fxdxa2、设函数u和v可微，证明grad(uv)=ugradv+vgradu《数学分析II》考试题（3）五、叙述题：（每小题5分，共15分）1、定积分2、连通集3、函数项级数的一致连续性六、计算题：（每小题7分，共35分）e1、sin(lnx)dx12、求三叶玫瑰线rasin3[0,]围成的面积3、求xnncos2n的上下极限2n154、求幂级数(x1)n的和n12n5、uf(x,y)为可微函数，求(u)2(u)2在极坐标下的表达式xy七、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知(x2y2)sin1cos1x0,y0，求limf(,y)，问f(x,y)0xyx0或y0(x,y)(0,0)xlimlimf(x,y),limlimf(x,y)是否存在？为什么？x0y0y0x02、讨论反常积分1dx的敛散性。0xpxq3、讨论fn(x)nxx[0,1]的一致收敛性。1nx八、证明题：（每小题10分，共20分）1、设f（x）在[a,+∞）上单调增加的连续函数，f(0)0，记它的反函数f--1（y），证明a()b1()(0,0)fxdx0fydyabab02、设正项级数xn收敛，证明级数xn2也收敛n1n1《数学分析》（二）测试题（4）一．判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：1．闭区间a,b的全体聚点的集合是a,b本身。2．函数lnxx21是1在区间1,内的原函数。x213．若fx在a,b上有界，则fx在a,b上必可积。4．若fxFxxftdt为连续的偶函数，则0亦为偶函数。5．正项级数10n是收敛的。n1!n1二．填空题（每小题3分，共15分）：1．数列1nn1的上极限为，下极限为。3n2．lim12n。n212n222n2n2n3．dtanxdtet。dx04．幂级数xn的收敛半径R。n3nn15．将函数fxxx展开成傅里叶级数，则a0，an，bn。三．计算题（每小题7分，共28分）：1．dxexx；2．ee03．xdx；2144．0x1xlnxdx；xdxx1四．解答题（每小题10分，共30分）：1．求由抛物线y22x与直线yx4所围图形的面积。2．判断级数1ntan1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n1nx2n13．确定幂级数的收敛域，并求其和函数。n12n1五．证明题（12分）：证明：函数fxsinnx在,上有连续的二阶导函数，并求fx。n4n1《数学分析》（二）测试题（5）二．判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：1．设a为点集E的聚点，则aE。2．函数lnxx21是1在,内的原函数。x213．有界是函数可积的必要条件。4．若fx为连续的奇函数，则Fxxftdt亦为奇函数。05．正项级数n2是收敛的。n12n二．填空题（每小题3分，共15分）：1．数列21n的上极限为，下极限为。2．lim12n。n2nn22nn2n2n3．dsinxdtet。dx04．幂级数4nxn的收敛半径R。n2n115．将函数fxxx展开成傅里叶级数，则a0，an，bn。三．计算题（每小题7分，共28分）：x31exdx；2dx；1．2．9x03．dx；1xdxx2x24．1x220四．解答题（每小题10分，共30分）：1．求由两抛物线yx2与y2x2所围图形的面积。2．判断级数1nlnn1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n1n3．确定幂级数nxn1的收敛域，并求其和函数。n1五．证明题（12分）：1x2证明：函数n2上连续。fxn1n2e在0,《数学分析》（二）测试题（6）一．判断（2*7=14分）（）1.设x0为f(x)在a,b上的极值点，则f(x0)0（）2.若在a,b内f(x)g(x),f(b)g(b),则对x[a,b],有f(x)g(x)（）3.若x为点集A的聚点，则必有xA（）4.若F(x)连续，则F(x)dxF(x)C（）5.若(）在,上连续，,,则x2()(2)bxfdtxfxaabtfa（）6.若an收敛，bn发散，则（an＋bn）必发散（）7.若an2收敛，则an3必收敛二．填空（3*7=21分）1.已知f(lnx)2x,则f(x)____________2．sinxln(x21)dx___________－3.设f（x）x2(x0)2f(x1)dx________x(x0),则e04.求lim1x________________sint2dtx0x305.求yx3x21的拐点坐标(_______)6．用定积分求lim111________n1n2nnn7.幂级数1xn的收敛半径R＝n2n三.计算（4*7=28分）(要有必要的计算过程)1.xexdx1dx2.xx2113.arcsinxdx0．求曲线y2x2与yx所围成的图形的面积4四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程)1.2nn!n1nn2.判别(1)nn）上是否一致收敛，为什么在（,n1n2x2五．证明：(9+10=19分)1．设级数an2与bn2都收敛，证明：ab绝对收敛nn2．设f(x)在a,b上二阶可导，f(a)f(b)0，证明：存在一点(a,b)，使得4f()(ba)2f(b)f(a)《数学分析》（二）测试题（7）一．判断（2*7=14分）（）1.设f(x0)0，则x0必为f(x)的极值点（）2.若在a,b内f(x)g(x),f(b)g(b),则对x[a,b],有f(x)g(x)（）3.若x为点集A的聚点，则x可能不属于A（）4.若Fx连续，则FxdxFx)C()()(（）5.若f(x）在a,b上连续，xbf(t)dtf(x)b,a,则x（）6.若limun1，则级数un收敛unl1n（）7.幂级数anxn至少存在一个收敛点二．填空（3*7=21分）1.已知f(＋1)x22,则()____________xfx2．已知1cosxdx1cosx___________－1x4A,则x4dx1013.设f（x）x1(x0)2________x2(x,则f(x1)dx0)04.求lim1x1costdt________________x0x0t5.求f(x)1x31x21的极大值为f(__)_____326．用定积分求lim112n________nnnnn7.幂级数2nxn的收敛半径R＝n三.计算（4*7=28分）(要有必要的计算过程)1.xlnxdx2.13.1dxxarctanxdxxx210．求曲线yx3从x0到x1的弧长4四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程)1nn21.1n12nn2.判别(1)nn在（,）上是否一致收敛，为什么n1n2x2五．证明：(9+10=19分)1．设级数an2与bn2都收敛，证明：(anbn)2收敛2．若fx在ab上连续，fxbdx证明：fx，xabfx0,)(),()0,()(0,a《数学分析》（二）测试题（8）三．判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：1．开区间a,b的全体聚点的集合是a,b本身。2．函数lnxx21是1在区间1,内的原函数。x213．若fx在a,b上有界，则fx在a,b上必可积。4．若fx为a,b上的连续函数，则Fxaxftdt在a,b上可导。5．正项级数1是收敛的。n1n二．填空题（每小题4分，共16分）：1．lim12n。2122222nnn2nndxt2．dx0edt。3．幂级数xn的收敛半径R。n3nn14．将函数fxxx展开成傅里叶级数，则a0，an，bn。三．计算题（每小题10分，共30分）：1．dx；2．1elnxdx；3．xdx；1x201x4四．解答题（每小题10分，共30分）：1．求由抛物线y22x与直线yx4所围图形的面积。2．判断级数1n1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n1n23．确定幂级数nxn1的收敛域，并求其和函数。n1五．证明题（9分）：1x2证明：函数n2上连续。fxn1n2e在0,参考答案（1）一、1、设f(x)在[a,b]连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则成立bF(b)F(a)f(x)dxa2、0.N0,使得mnN，成立an1an2am3、设DR2为开集，zf(x,y),(x,y)D是定义在D上的二元函数，P0(x0,y0)为D中的一定点，若存在只与点有关而与x,y无关的常数AB和，使得zAxByo(x2y2)则称函数f在点P0(x0,y0)处是可微的，并称AxBy为在点P0(x0,y0)处的全微分二、1、分子和分母同时求导x2sint2dt4lim02xsinx1（8分）x6lim6x53x0x02、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：1(xx2)dx1（3分）031x5)dx3所求的体积为：(x（3分）01013、解：设f(x)xn1)，lim(n1)(n2)1，收敛半径为1，收敛域n1n(nn1n(n1)[-1，1]（2分）f'(x)xn111ln(1x),(0x1),n1(n1)xx2f(x)xf'(t)dt11xln(1x),(0x1)(3分）0xx=0级数为0，x=1，级数为1，x=-1，级数为1-2ln2（3分）4、解：ylnx（3分）2uylnxy1(5分）u=xzxzxz1yzxyzx三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）(n1)!lim(n1)n1lim(11)ne1（4分）由D’Alembert判别法知级数收敛（1分）nn!nn1nnxp1exdx11exdxxp1exdx（211exdx，由于2、解：0xp1分），对xp00x1pxp1ex1(x0)故p01xdx收敛（4xp1exdx，由于时xp1e分）；01x2xp1ex0(x)（4分）故对一切的pxp1exdx收敛，综上所述p0，积分1收敛3、解：Sn(x)x21分）limsupSn(x)x0所以函数列n2收敛于x（4nx(,)一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：x3x4xnxn12n21xn1x2,(n2)（6分）x2x3