高中数学必修1基本初等函数常考题型：指数函数与性质

指数函数及其性质【知识梳理】1．指数函数的定义函数xya(0a且1a)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2．指数函数的图象和性质1a01a图象性质定义域R值域0,过定点过点0,1即x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数【常考题型】题型一、指数函数的概念【例1】(1)下列函数：①23xy；②13xy；③3xy；④3yx.其中，指数函数的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)函数22xyaa是指数函数，则()A．1a或3aB．1aC．3aD．0a且1a[解析](1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，13xy的指数是1x，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3xy的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，3yx中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知22101aaa且，所以解得3a.[答案](1)B(2)C【类题通法】判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：(1)底数0a，且1a.(2)xa的系数为1.(3)xya中“a是常数”，x为自变量，自变量在指数位置上．【对点训练】下列函数中是指数函数的是________(填序号)．①22xy；②12xy；③2xy；④xyx；⑤13yx；⑥13yx.解析：①中指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；②中11222xxy，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③题型二、指数函数的图象问题【例2】(1)如图是指数函数①xya，②xyb，③xyc，④xyd的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．1abcdB．1badcC．1abcdD．1abdc(2)函数33xya(0a，且1a)的图象过定点________．[解析](1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点1,0作直线1x，如图所示，在第一象限内直线1x与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1dc，1ba，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为1badc.(2)法一：因为指数函数xya(0a，且1a)的图象过定点0,1，所以在函数33xya中，令3x，得134y，即函数的图象过定点3,4．法二：将原函数变形，得33xya，然后把3y看作是3x的指数函数，所以当30x时，31y，即3x，4y，所以原函数的图象过定点3,4．[答案](1)B(2)3,4【类题通法】底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当1a时，指数函数的图象“上升”；当01a时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是1a，还是01a，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当1ab时，①若0x，则1xxab；②若0x，则10xxba.当10ab时，①若0x，则10xxab；②若0x，则1xxba.【对点训练】若函数1xyab(0a，且1a)的图象不经过第二象限，则有()A．1a且1bB．01a且1bC．01a且0bD．1a且0b解析：选D由指数函数图象的特征可知01a时，函数1xyab(0a，且1a)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C.又函数1xyab(0a，且1a)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当0x时，010yab，即0b，故选项D正确.题型三、与指数函数有关的定义域、值域问题【例3】求下列函数的定义域和值域：(1)13xy；(2)142xy；(3)23xy.[解](1)要使函数式有意义，则130x，即0313x，因为函数3xy在R上是增函数，所以0x，故函数y＝13x的定义域为,0．因为0x，所以031x，所以0131x，所以130,1x，即函数13xy的值域为0,1．(2)要使函数式有意义，则40x，解得4x，所以函数142xy的定义域为R4xx．因为104x，所以1421x，即函数142xy的值域为01yyy且．(3)要使函数式有意义，则0x，解得0x，所以函数23xy的定义域为0xx．而23xy0213，则函数23xy的值域为1yy．【类题通法】指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是xya型还是fxya型，前者的定义域是R，后者的定义域与fx的定义域一致，而求xyfa型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为0,，切记准确运用指数函数的单调性．【对点训练】求函数22312xxy的定义域和值域．解：定义域为R.∵2223144xxx，∴22312xx41162　.又∵223102xx，∴函数22312xxy的值域为0,16．【练习反馈】1．已知10nm，则指数函数①xym，②xyn的图象为()解析：选C由于01mn，所以xym与xyn都是减函数，故排除A、B，作直线1x与两个曲线相交，交点在下面的是函数xym的图象，故选C.2．若函数12xya是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为()A.1,2B．,0C.1,2D.11,22解析：选B由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数121a，解得0a.3．指数函数yfx的图象过点2,4，那么24ff________.解析：设xfxa(0a且1a)，又224fa，∴24232444464ffaa.答案：644．函数113xfx，1,2x的值域为________．解析：∵12x，∴11393x.∴811293x.∴值域为8,29.答案：8,295．已知函数1xfxa(0x)的图象经过点12,2，其中0a且1a.(1)求a的值；(2)求函数yfx(0x)的值域．解：(1)因为函数图象过点12,2，所以2112a，则12a.(2)112xfx(0x)，由0x得，11x，于是11110222x.所以函数的值域为0,2．您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。