选修2-1第二章单元综合测试

单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．抛物线y＝x2的准线方程是()A．4y＋1＝0B．4x＋1＝0C．2y＋1＝0D．2x＋1＝0【答案】A【解析】p＝12，准线方程为y＝－p2＝－14，即4y＋1＝0.2．设k1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是()A．长轴在y轴上的椭圆B．长轴在x轴上的椭圆C．实轴在y轴上的双曲线D．实轴在x轴上的双曲线【答案】C【解析】∵k1，方程可化为y2k2－1－x2k＋1＝1.表示实轴在y轴上的双曲线．3．下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1【答案】B【解析】双曲线x24－y22＝1的离心率e＝4＋22＝62.4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB等于()A.45B.52C.54D.53【答案】C【解析】椭圆x225＋y29＝1中，长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，半焦距c＝4，sinA＋sinCsinB＝BC＋BAAC＝2a2c＝54.5．椭圆a2x2－a2y2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a等于()A.1－34B.1－54C.－1±34D.－1±54【答案】B【解析】椭圆a2x2－a2y2＝1可化为x21a2＋y2－2a＝1，∴a0，排除C、D.当a＝1－54时，1a2＝6＋25，－2a＝2(5＋1)，∴6＋25－25－2＝4，∴一个焦点是(－2,0)．6．(2014·重庆理)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D．3【答案】B【解析】不妨设点P是右支上的一点，由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋3b2，|PF2|＝3b－2a2，|PF1||PF2|＝3b－2a2×3b＋2a2＝9b2－4a24，9b2－4a24＝9ab4，解得3b＝4a，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2.所以离心率为e＝53.7．抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是()A．(32，54)B．(1,1)C．(32，94)D．(2,4)【答案】B【解析】设P(x，y)为抛物线y＝x2上任一点，则P到直线的距离d＝|2x－y－4|5＝|x2－2x＋4|5＝x－12＋35，所以当x＝1时，d取最小值355，此时P为(1,1)．8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋12【答案】D【解析】设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBF＝－bc，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，∴－bc·ba＝－1，即b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，解得e＝1±52，又e1，∴e＝5＋12，故选D.9．(2014·辽宁理)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43【答案】D【解析】本题考查抛物线的几何性质、直线的斜率，直线与抛物线的位置关系．由题意知，准线方程为x＝－2，∴p＝4，抛物线方程：y2＝8x，焦点坐标F(2,0)．设过A点的直线为y＝k(x＋2)＋3，联立y2＝8x，y＝kx＋2＋3，化简得y2－8ky＋24k＋16＝0，①∴Δ＝64k2－4(24k＋16)＝0，∴k＝12，k＝－2(舍去)．将k＝12代入方程①，∴y＝8，∴x＝8.B点坐标为(8,8)．∴kBF＝88－2＝43.10．连接双曲线x2a2－y2b2＝1与y2b2－x2a2＝1的四个顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为S2，则S1S2的最大值是()A．2B．1C.12D.14【答案】C【解析】x轴上的两个顶点为(a,0)，(－a,0)，y轴上的两个顶点为(0，b)，(0，－b)．这四个顶点构成的四边形为菱形，面积S1＝12·2a·2b＝2ab，焦点分别为(±c,0)，(0，±c)，则四个焦点构成的四边形为正方形，面积S2＝12·2c·2c＝2c2.∴S1S2＝abc2≤a2＋b22c2＝12.当且仅当a＝b时，等号成立，故选C.11．(2014·山东理)已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0【答案】A【解析】本题考查椭圆、双曲线的几何性质．e21＝c21a2＝a2－b2a2，e22＝c22a2＝a2＋b2a2∴e21·e22＝a4－b4a4＝(32)2＝34∴a4＝4b4，∴ba＝±22双曲线的渐近线方程为y＝±22x.12．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围是()A．(14，49)B．(23，1)C．(12，23)D．(0，12)【答案】C【解析】点B的横坐标是c，故B的坐标为(c，±b2a)，又k∈(13，12)，∴B(c，b2a)．斜率k＝b2ac＋a＝b2ac＋a2＝a2－c2ac＋a2＝1－e2e＋1.由13k12，解得12e23.二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．【答案】12【解析】∵AB＝2c＝4，∴c＝2.又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.∴椭圆离心率为ca＝12.14．(2013·江西理)抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.【答案】6【解析】本题考查抛物线的几何性质，方程的思想．如图不妨设A(x0，－p2)．F(0，p2)，FD＝p，可解得A(3＋p24，－p2)．在Rt△DFA中，tan30°＝ADDF，∴33＝3＋p24p.∴p2＝36，p＝6.15．抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，每隔4米用一支柱支撑，其中最长支柱的长是________．【答案】3.84m【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为：x2＝－2py(p0)，点A(10，－4)在抛物线上，∴100＝8p，p＝252，∴x2＝－25y，其中最长一根长柱与抛物线的交点为B(x0，y0)，由题意知x0＝2，∴y0＝－425，∴最长的支柱长为4－425＝9625＝3.84(米)．16．设AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________.【答案】－b2a2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点M(x1＋x22，y1＋y22)，得kAB＝y2－y1x2－x1，kOM＝y2＋y1x2＋x1，kAB·kOM＝y22－y21x22－x21，又由b2x21＋a2y21＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b2，得b2(x22－x21)＋a2(y22－y21)＝0，即y22－y21x22－x21＝－b2a2.三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)求以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±x2为渐近线的双曲线方程．【解析】椭圆3x2＋13y2＝39可化为x213＋y23＝1，其焦点坐标为(±10，0)，∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，∵双曲线的渐近线为y＝±12x，∴ba＝12，∴b2a2＝c2－a2a2＝10－a2a2＝14，∴a2＝8，b2＝2，即所求的双曲线方程为：x28－y22＝1.18．(本题满分12分)设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点．若点P是该椭圆上的一个动点，求PF1→·PF2→的最大值和最小值．【解析】由题意知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)，设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－3＝14(3x2－8)．由于x∈[－2,2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1→·PF2→有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1→·PF2→有最大值1.19．(本题满分12分)如图所示，椭圆x216＋y29＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．【解析】由椭圆的方程x216＋y29＝1知，a＝4，b＝3，∴c＝a2－b2＝7.由c＝7知F1(－7，0)，F2(7，0)，又k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为x－y＋7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x－y＋7＝0，x216＋y29＝1，消去x，整理得25y2－187y－81＝0，∴|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝187252＋4×8125＝72252.∴S△ABF2＝12|F1F2|·|y1－y2|＝12×27×72252＝722514.20．(本题满分12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA→⊥OB→，求k的值．【解析】(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝22－32＝1，故曲线C的方程为x2＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足x2＋y24＝1，y＝kx＋1，消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4.若OA→⊥OB→，则x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－3k2＋4－3k2k2＋4－2k2k2＋4＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±12.21．(本题满分13分)已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e＝22，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－22，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且AP→＝3PB→.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．【解析】(1)设C：y2a2＋x2b2＝1(ab0)，设c0，c2＝a2－b2，由条件知a－c＝1－22，ca＝22，∴a＝1，b＝c＝22，故椭圆方程为y2＋x212＝1.(2)当直线斜率不存在时，m＝±12，满足条件，当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，与椭圆C交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y＝kx＋m，2x2＋y2＝1，整理得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，∴Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)0，(*)x1＋x2＝－2kmk2＋2，①x1x2＝m2－1k2＋2，②∵AP→＝3PB→，∴－x1＝3x2，③由①②③消去x1，x2，得3(kmk2＋2)2＋m2－1k2＋2＝0.整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，∴k2＝2－2m24m2－1≥0，∴－1≤m－12或12m≤1，把k2＝2－2m24m2－1代入(*)得－1m－12或1