北师大数学八年级上册第四章一次函数全章复习与巩固(提高)

一次函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4.通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为ykxb，其中k、b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数ykxb即ykx（k≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点变化的世界函数建立数学模型应用概念选择方案概念再认识表示方法图象性质一次函数（正比例函数）一元一次方程一元一次不等式二元一次方程组与数学问题的综合与实际问题的综合列表法解析法图象法组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：直线ykxb可以看作由直线ykx平移|b|个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数ykxb与函数ykx的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k、b对一次函数ykxb的图象和性质的影响：（1）k决定直线ykxb从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线ykxb经过的象限．（2）两条直线1l：11ykxb和2l：22ykxb的位置关系可由其系数确定：12kk1l与2l相交；12kk，且12bb1l与2l平行；12kk，且12bb1l与2l重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线xa、直线yb不是一次函数的图象.要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于x、y的一元一次方程axb＝0（a≠0）的解x为何值时，函数yaxb的值为0？确定直线yaxb与x轴（即直线y＝0）交点的横坐标求关于x、y的二元一次方程组1122，．yaxbyaxb的解．x为何值时，函数11yaxb与函数22yaxb的值相等？确定直线11yaxb与直线22yaxb的交点的坐标求关于x的一元一次不等式axb＞0（a≠0）的解集x为何值时，函数yaxb的值大于0？确定直线yaxb在x轴（即直线y＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围【典型例题】类型一、函数的概念1、（2014春•桃城区校级月考）在国内投寄平信应付邮资如下表：信件质量x（克）0＜x≤200＜x≤400＜x≤60邮资y（元）0.801.602.40（1）y是x的函数吗？为什么？（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值．【思路点拨】（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量可得y是x的函数；（2）根据表格可以直接得到答案．【答案与解析】解：（1）y是x的函数，当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应；（2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80；当x=30时，y=1.60；当x=50时，y=2.40．【总结升华】此题主要考查了函数定义，关键是掌握函数的定义．类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：印数x（册）500080001000015000……成本y（元）28500360004100053500……（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.【答案与解析】解：（1）设所求一次函数的解析式为ykxb，则解得k＝，b＝16000．∴所求的函数关系式为y＝x＋16000．（2）∵48000＝x＋16000．∴x＝12800．答：能印该读物12800册．【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，再根据，所以整理得②．根据方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函数解析式为或．类型三、一次函数的图象和性质3、若直线ykxb（k≠0）不经过第一象限，则k、b的取值范围是（）A.k＞0,b＜0B.k＞0,b≤0C.k＜0,b＜0D.k＜0,b≤0【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系解答.图象不经过第一象限，则k＜0，此时图象可能过原点，也可能经过二、三、四象限.【答案】D；【解析】当图象过原点时，k＜0，b＝0，当图象经过二、三、四象限时，k＜0且b＜0.【总结升华】图象不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况.举一反三：【变式】一次函数2ykxk与kxy在同一坐标系内的图象可以为（）A.B.C.D.【答案】D；提示：分为k＜0；0＜k＜2；k＞2分别画出图象，只有D答案符合要求.类型四、一次函数与方程（组）、不等式4、如图，直线ykxb经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组102xkxb的解集为．【答案】32x；【解析】从图象上看，ykxb的图象在x轴下方，且在12yx上方的图象为画红线的部分，而这部分的图象自变量x的范围在32x.【总结升华】也可以先求出ykxb的解析式，然后解不等式得出结果.举一反三：【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；（3）根据图象可得x＞3．类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2h后血液中的含药量最高，达每升6mg，接着逐步衰减，10h后血液中的含药量为每升3mg，每升血液中的含药量ymg随时间xh的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4mg或4mg以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令y≥4，分别求出x的取值范围，便可得出这个药的有效时间．【答案与解析】解：(1)由图知，x≤2时是正比例函数，x≥2时是一次函数．设x≤2时，ykx，把(2，6)代入ykx，解得k＝3，∴当0≤x≤2时，3yx．设x≥2时，ykxb，把(2，6)，(10，3)代入ykxb中，得26103kbkb，解得38274kb，即32784yx．当y＝0时，有327084x，18x．∴当2≤x≤18时，32784yx．(2)由于y≥4时在治疗疾病是有效的，∴34327484xx，解得42233x．即服药后43h得到223h为治病的有效时间，这段时间为224186()333h．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．类型六、一次函数综合6、如图所示，直线1l与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线2l与直线1l关于y轴对称，且与x轴交于点C．已知直线1l的解析式为4yx．(1)求直线2l的解析式；(2)D为OC的中点，P是线段BC上一动点，求使OP＋PD值最小的点P的坐标．【答案与解析】解：(1)由直线4yx可得：A(－4，0)，B(0，4)∵点A和点C关于y轴对称，∴C(4，0)．设直线BC解析式为：ykxb，则4004bkb解得14kb．∴直线BC解析式为：4yx．(2)作点D关于BC对称点D′，连结PD′，OD′．∴PDDP，∴OP＋PD＝PD′＋OP．∴当O、P、D′三点共线时OP＋PD最小．∵OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠DCO＝90°，∴(4,2)D，∴12ODyx．由124yxyx得8343xy∴当点P坐标为84,33时，OP＋PD的值最小．【总结升华】(1)由直线1l的解析式得到A、B点的坐标，进一步得到C点的坐标，然后利用B、C两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP＋PD值最小的点P的坐标．举一反三：【变式】如图所示，已知直线8yx交y轴于点A，交x轴于点B，过B作BD⊥AB交y轴于D．(1)求直线BD的解析式；(2)若点C是x轴负半轴上一点，过C作AC的垂线与BD交于点E．请判断线段AC与CE的大小关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)由直线8yx可得：A(0，8)，B(8，0)．∴OA＝OB＝8，∠ABO＝45°．∵BD⊥AB，∴∠DBO＝45°，△ABD为等腰直角三角形．∴OD＝OA＝8，D点坐标为(0，－8)．设BD的解析式为ykxb．∵过B(8，0)，D(0，－8)∴808kbb，解得18kb．∴BD的解析式为8yx(2)AC＝CE；过点C作CM⊥AB于M，作CN⊥BD于点N．∵BC为∠ABD的平分线，∴CM＝CN．∵∠ACE＝90°，∠MCN=90°∴∠ACM＝∠ECN．在△ACM和△ECN中90,AMCENCCMCNACMECN°,∴△ACM≌△ECN(ASA)．∴AC＝CE．【巩固练习】一.选择题1．函数y＝3212xxx的自变量取值范围是()A.－2≤x≤2B.x≥－2且x≠1C.x＞－2D.－2≤x≤2且x≠12.（2015•济南校级一模）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时点B的坐标为（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（0，0）3.已知一次函数yaxb的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式(1)0axb的解集为（）A．x＜－1B．x＞－1C．x＞1D．x＜14.如图所示是实验室中常用的仪器，向以下容器内均匀注水，最后把容器注满，在注水过程中，容器内水面高度与时间的关系如图①所示，图中PQ为一条线段，则这个容器是（）ABCD5．若点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，)三点共线，则等于()A．6B．－6