北师大数学八年级上册第五章二元一次方程组的相关概念(提高)

二元一次方程（组）的相关概念（提高）知识讲解【学习目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：2,5.xy(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如52013yxx也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成xayb的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526xyxy无解，而方程组1222xyxy的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答．【答案与解析】解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，解得：n=2，m=0或2，若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，则m=0，n=2．【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件．举一反三：【变式1】已知方程3241252mnxy是二元一次方程，则m=，n=.【答案】-2，14【变式2】方程(1)(1)0axay，当______aa时，它是二元一次方程，当时，它是一元一次方程．【答案】1；11或类型二、二元一次方程的解2.（2016春•新华区期中）已知是方程2x﹣6my+8=0的一组解，求m的值．【思路点拨】把方程的解代入方程可得到关于m的方程，可求得m的值．【答案与解析】解：∵是方程2x﹣6my+8=0的一组解，∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0，解得m=﹣2．【总结升华】本题主要考查二元一次方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．举一反三：【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是11xmym，求m的值.【答案】解：将11xmym代入方程2x-y+m-3=0得2(1)(1)30mmm，解得3m.答：m的值为3.3.写出二元一次方程204yx的所有正整数解.【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏.【答案与解析】解：由原方程得xy420，因为yx、都是正整数，所以当4321，　，　，　x时，481216，　，　，　y.所以方程204yx的所有正整数解为：161yx，122yx，83yx，44yx.【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏.两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解.举一反三：【变式1】（2015春•孟津县期中）已知是关于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）y=7的解，求a的值．【答案】解：把代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：2a+3（2a﹣3）=7，解得：a=2．【变式2】在方程0243yx中，若y分别取2、41、0、－1、－4，求相应的x的值.【答案】将0243yx变形得342yx.把已知y值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：y2410－1－4342yx－2313226类型三、二元一次方程组及解4.甲、乙两人共同解方程组51542axyxby①②由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为31xy．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为54xy．试计算：20112010110ab的值．【思路点拨】把x、y的值代入正确的方程，就可以求出字母的值．【答案与解析】解：把31xy代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．把54xy代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，所以201120112010201011(1)101(1)01010ab．【总结升华】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它．举一反三：【变式】已知关于,xy的二元一次方程组41323xayxbyxy的解是，求的值ab．【答案】解：将13xy代入原方程组得：134332ab，解得113ab，所以23ab．【巩固练习】一、选择题1．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）A．5个B.6个C.7个D.8个2.（2016春•绍兴期末）方程2x﹣=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0中，二元一次方程的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个3.（2015春•滑县期末）已知x=2，y=﹣3是二元一次方程5x+my+2=0的解，则m的值为（）A．4B．﹣4C．D．﹣4.若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（）A．23B.32C.1D.-15.若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）A．无解B.有唯一一个解C.有无数多个解D.不能确定6.在早餐店里，王伯伯买5个馒头，3个包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11个馒头，5个包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每个x元，包子每个y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系?()A．53502115900.9xyxyB．53502115900.9xyxyC．53502115900.9xyxyD．53502115900.9xyxy二、填空题7．已知方程3241252mnxy是二元一次方程，则m＝________，n＝_________．8．（2015•丹东模拟）若方程组的解为，则点P（a，b）在第象限．9．在13,72xy04xy，21xy，33xy这四对数值中，是二元一次方程组32823xyxy的解的是________．10.方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________；11.方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________；12.若二元一次方程组的解中，则等于____________.三、解答题13．（2016春•大兴区期末）请你写出一个二元一次方程组，使它的解是．14．甲、乙二人共同解方程组2623mxyxny①②由于看错了方程①中的m值，得到方程组的解为32xy；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为52xy，试求代数式22mnmn的值．15．某球迷协会组织36名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种是每辆车可乘8人，另一种是每辆车可乘4人．要求租用的车子不留空座，也不超载．（1）请你给出三种不同的租车方案；（2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用最少的租车方案，并简述你的理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；2.【答案】D；【解析】解：2x﹣=0是分式方程，不是二元一次方程；3x+y=0是二元次方程；2x+xy=1不是二元一次方程；3x+y﹣2x=0是二元一次方程；x2﹣x+1=0不是二元一次方程．故选：D．3.【答案】【解析】把x=2，y=﹣3代入二元一次方程5x+my+2=0，得10﹣3m+2=0，解得m=4．4.【答案】A；【解析】将5x＝6y代入后面的代数式化简即得答案．5.【答案】B；【解析】76xy可知：,xy异号或均为0，所以不可能同时为正，只能同时为0.6.【答案】B；【解析】根据题意知，x，y同时满足两个相等关系:①老板少拿2元，只要50元；②老板以售价的九折优待，只要90元，故选B．二、填空题7.【答案】-2，14；【解析】由二元一次方程的定义可得：31241mn，所以214mn8.【答案】四【解析】：将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3，则P（2，﹣3）在第四象限．9.【答案】21xy；【解析】把４组解分别代入方程组验证即可．10．【答案】2；【解析】将2x代入2x+3y=10中可得y值．11.【答案】；12.【答案】－3∶4；【解析】将代入中，得，即；将代入，得，即，即.三、解答题13.【解析】解：答案不唯一，例如：∵，∴x+y=5,x-y=-1,∴所求的二元一次方程组可以是．14.【解析】解：将32xy代入②中2(3)23n，32n．将52xy代入①中-5m+4＝-6，m＝2．∴229374344mnmn．15.【解析】解：（1）设8个座位的车租x辆，4个座位的车租y辆．则8x+4y＝36，即2x+y＝9．∵x，y必须都为非负整数，∴x可取0，1，2，3，4，∴y的对应值分别为9，7，5，3，1．因此租车方案有5种，任取三种即可．（2）因为8个座位的车座位多，相对日租金较少，所以要使费用最少，必须尽量多租8个座位的车．所以符合要求的租车方案为8个座位的车租4辆．4个座位的车租1辆，此时租车费用为4×300+1×200＝1400(元)．