均值不等式常见题型整理

该资料由书利华教育网【】为您整理提供均值不等式一、基本知识梳理1.算术平均值：如果a﹑b∈R+，那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果a﹑b∈R+，那么叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果a﹑b∈R，那么a2+b2≥(当且仅当a=b时，取“=”)均值定理：如果a﹑b∈R+，那么2ab≥(当且仅当a=b时，取“=”)均值定理可叙述为：4．变式变形：2222221;22;230;4252.abababbaabababab；5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式都能取得相等的值。6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。二、常见题型：1、分式函数求最值，如果)(xfy可表示为BxgAxmgy)()(的形式，且)(xg在定义域内恒正或恒负，,0,0mA则可运用均值不等式来求最值。例：求函数)01(112axxxaxy且的最小值。解：1)1(11112xaaaxxxaxaxxxaxy1212211)1(aaaxaxa当1)1(xaxa即x=0时等号成立，1miny该资料由书利华教育网【】为您整理提供2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。例：已知191,0,0baba且，求ba的最小值。解法一：169210991baabba思路二：由191ba变形可得,9,1,9)9)(1(baba然后将ba变形。解法二：16109210)9)(1(210)9()1(bababa可以验证：两种解法的等号成立的条件均为12,4ba。此类题型可扩展为：设321aaa、、均为正数，且maaa321，求321111aaaS的最小值。)111)((1321321aaaaaamS)]()()(3[1322331132112aaaaaaaaaaaammm9)2223(1，等号成立的条件是321aaa。3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x的取值范围，根据取值范围来进行逆向转换。例：求函数]3,21[,37xxxy的最小值。思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间]3,21[x入手，可得一个不等式0)3)(21(xx（当且仅当21x或3x时取等号），展开此式讨论即可。解：,0)3)(21(xx即,372,037222xxxx,372,0xxx得2miny4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0ab时，abba222同时除以ab得2baab或baab11。该资料由书利华教育网【】为您整理提供例：已知a,b,c均为，求证：cbaaccbba222。证明：cba,,均为正数，acaccbcbbaba2,2,2222，cbaaccbbaaccbba)2()2()2(222总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。【巩固练习】1、若,0,0ba求函数baxxy2最值。答案：ababyababy2,2maxmin2、求函数)0(132xxxxy的值域。答案：[-3，0]3、已知正数yx,满足,12yx求yx11的最小值。答案：2234、已知zyx,,为正数，且2zyx，求2111yxS的最小值。答案：295、若)0](,1[abax，求xbxaby)1(的最小值。答案：a6、设cba,,为整数，求证：2222cbabacacbcba。三、利用不等式解题的典型例题解析：题型一：利用均值不等式求最值（值域）例1、（1）已知0x，求xxxf312)(的最小值（2）已知3x，求xxxf34)(的最大值变式1：1、若Rx，求xxxf34)(的值域2、函数022xxxy的最大值为变式2：1、已知0,0yx且191yx，求yx的最小值该资料由书利华教育网【】为您整理提供2、Rx，求1sin51sin)(22xxxf的最小值3、当bax,,10为正常数时，求xbxay122的最小值变式3：1、函数)1,0(1)3(logaaxya的图象恒过定点，若点A在直线01nymx上，其中0mn，则nm21的最小值为2、求2)3(222xxy的最小值为3、已知xxxfxsin12009sin1)(,20的最小值为变式4：1、已知yx,都是正实数，且053xyyx（1）求xy的最小值（2）求yx的最小值题型二：利用均值不等式证明不等式例2、已知Rcba,,，求证：（1）cabcabcba222（2）cbaaccbba2222222（3）cbaabcaccbbacba222222444变式5：1、已知,,,Rcba且,,,cba不全相等，求证：cbacabbacabc2、已知Rcba,,，且1cba，求证：31222cba3、已知1,0,0baba，求证：91111ba