函数周期性分类解析

1函数周期性分类解析一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使)()(xfTxf恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二．重要结论1、fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数fxafxa，则xf是以2Ta为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、1()()1()fxfxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数.7、1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1xfxf(x∈R，a0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。10、函数()yfxxR的图象关于两点0,Aay、0,Bbyab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数；11、函数()yfxxR的图象关于0,Aay和直线xbab都对称，则函数()fx是以4ba为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(2T)=0.2三、典例讲解例1（05.福建12）)(xf是定义在R上的以3为周期的奇函数，且0)2(f在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．6B．7C．4D．5例2.设函数fx()的定义域为R，且对任意的x，y有)()(2)()(yfxfyxfyxf，并存在正实数c，使fc()20。试问fx()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。例3.已知fx()是定义在R上的函数，且满足：fxfxfx()[()]()211，f()11997，求f(2001)的值。例4.（2009江西卷文）已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff的值为（）A．2B．1C．1D．2例5.（天津卷05）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线21x对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_____例6（07安徽）定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为（）A.0B.1C.3D.5四、巩固练习1.已知偶函数()fx是以2为周期的周期函数，且当0,1x时，()21xfx，则2(log10)f的值为.A35.B85.C38.D532设函数()fx是定义在R上的奇函数，对于任意的xR，都有1()(1)1()fxfxfx，当0x≤1时，()2fxx，则(11.5)f3知()fx是定义在实数集R上的函数，满足(2)()fxfx，且[0,2]x时，2()2fxxx.1求[2,0]x时，()fx的表达式；2证明()fx是R上的奇函数．4.（05朝阳模拟）已知函数()fx的图象关于点3,04对称，且满足3()()2fxfx，又(1)1f，(0)2f，求(1)(2)(3)fff…(2006)f的值3高三数学恒成立问题的类型及求解策略恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，也为历年高考的一个热点。现将高中数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。一、一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）0)(0mfa或ⅱ）0)(0nfa亦可合并定成0)(0)(nfmf同理，若在[m,n]内恒有f(x)0，则有0)(0)(nfmf例1、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。二、二次函数型若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有00a若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2．定义在R上的减函数xf，如果不等式组2211321xkxfkxfkfxkxf对任何1,0x都成立，求k的取值范围。例3．关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。4三、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例4已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+45a恒成立，求实数a的取值范围。例5．若不等式nnnn21...31211124m对于大于1的一切自然数n都成立,求自然数m的最大值,并证明所得结论。四、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例6、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。五．根据函数的奇偶性、周期性、对称性等性质例7若f(x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。六．利用导数求最值解决恒成立问题例8已知函数f（x）=3231()2axxxR，其中a0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.