1.1.1-正弦定理

1.1.1正弦定理2020/7/281今日Flag导3min1、在Rt∆𝐴𝐵𝐶中,𝑎sin𝐴,𝑏sin𝐵,𝑐sin𝐶之间存在怎样的关系?ABCcba两等式间有联系吗？csinsinabABsin1CsinsinsinabcABCsinsinacAbcB，2020/7/282导TheWorld3min同理可得𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶D过点A作AD⊥BC于D,则AD=csin𝐵=𝑏sin𝐶,即3、钝角三角形如图2，也有类似的关系AcbCB图1aCAcbB图2a2、锐角三角形（如图1）中是否存在类似的关系?D此时有sin𝐵=𝐴𝐷𝑐,sin𝐶=𝐴𝐷𝑏𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶即：𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶2020/7/283导TheWorld3minCcBbAasinsinsin　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即注：每个等式可视为一个方程：知三求一要牢记哟!三角形中，各边和它所对角的正弦比相等2020/7/284学min滴水穿石2020/7/285阅读教材Page2-4，划记如下知识点：1.正弦定理是什么?2.怎么解三角形?3.思考正弦定理能解哪样的三角形。对学和群学：完成并订正导学案的典例精析部分ShowTime展9min2020/7/286例1.（1）在∆ABC中，若A=60°，B=45°，BC=32，则AC=_________（2）在∆ABC中，若A=60°，𝑎=43，𝑏=42，则B=_________（3）在∆ABC中，若𝑎=23，𝑏=22，𝐵=45°，则A=_________例2.已知∆ABC的内角A，B，C的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若cos𝐴=45，cos𝐶=513，𝑎=1，则𝑏=45°60°或120°23解析：sin𝐵=sin𝐴+𝐶=sin𝐴cos𝐶+cos𝐴sin𝐶=35×513+45×1213=6365∴𝑏=𝑎sin𝐵sin𝐴=21132113ShowTime展9min2020/7/287例3.已知Δ𝐴𝐵𝐶中，若𝐴C=3，A=45°，C=75°，求BC，AB，及B.例4.已知方程𝑥2−𝑏cos𝐴𝑥+𝑎cos𝐵=0的两根之积等于两根之和，且A，B为Δ𝐴𝐵𝐶的内角，𝑎，𝑏分别为角A，B的对边，试判断Δ𝐴𝐵𝐶的形状.解析：𝐵=𝜋−𝐴−𝐶=60°,𝐵C=𝑎=𝑏sin𝐴sin𝐵=2,解析：𝑥1+𝑥2=𝑏cos𝐴,𝑥1∙𝑥2=𝑎cos𝐵,∵𝑥1+𝑥2=𝑥1∙𝑥2即𝑏cos𝐴=𝑎cos𝐵，sin𝐴cos𝐵−cos𝐴sin𝐵=sin𝐴−𝐵=0，∴𝐴=𝐵,ΔABC为等腰三角形𝐴𝐵=𝑐=𝑏sin𝐶sin𝐵=6+22点Getbetterandbetter7min正弦定理：在一个三角形∆ABC中，各边和它所对角的正弦的比相等，即__________________.2020/7/288𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶解三角形：（1）三角形的元素：三角形的三个内角A，B，C和它们的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐（2）解三角形：已知三角形的几个元素求_____________的过程.（3）正弦定理的应用：已知三角形的两角及任一边，求其它两边；已知三角形的两边及其中一边的对角，求另一边的对角。在这个问题中要注意可能出现无解、一解、两解的情况，要注意如何区别。其他元素三角形中的一些结论：（1）在Δ𝐴𝐵𝐶中，𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，（2）若A+C=2B，则B=60°.（3）sin(A+B)=，cos(A+B)=，sin𝐴+𝐵2=，cos𝐴+𝐵2=.（4）在Δ𝐴𝐵𝐶中，𝑎𝑏⟺𝐴𝐵⟺sin𝐴sin𝐵(大边对大角，大角对大边）−cos𝐶sin𝐶cos𝑐2sin𝑐2测Youcandoit!5min2020/7/2892.在Δ𝐴𝐵𝐶中，若a=5，b=3，则sin𝐴:sin𝐵的值是()A.53B.35C.37D.571.在Δ𝐴𝐵𝐶中，若sin𝐴sin𝐵，则A与B的大小关系为()A.ABB.ABC.A≥BD.A,B的大小关系不确定3.在Δ𝐴𝐵𝐶中,𝑎=𝑏sin𝐴，则Δ𝐴𝐵𝐶一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形AA解析：𝑎𝑏⟺𝐴𝐵⟺𝑠in𝐴sin𝐵解析：sin𝐴∶sin𝐵=𝑎∶𝑏=5∶3B解析：𝑎=𝑏sin𝐴即sin𝐴=sin𝐵sin𝐴,∴sin𝐵=1,B=90°，∴Δ𝐴𝐵𝐶为直角三角形2020/7/2810坚持超越自我态度决定一切