高中数学选修()椭圆的简单几何性质

12．1.2椭圆的简单几何性质231.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质．2．能用椭圆的简单性质求椭圆方程．3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.41.椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的几何性质与研究方法几何性质从图形上看从方程上研究范围位于矩形框内x∈________，y∈________对称性既关于________成轴对称又关于________成中心对称将方程中的x，y分别换成－x，－y后，方程不变[－a，a][－b，b]坐标轴原点5顶点图形与坐标轴的交点令x＝0，y＝0可得长轴(短轴)线段A1A，B1B，(A1A为长轴长，B1B为短轴长)长轴长为____，短轴长为____焦点定义中的两个定点焦点F1___________，F2___________焦距线段F1F2的长|F1F2|＝____a、b、c的关系对应直角三角形OBF1a2＝________2a2b－c，0c，02cb2＋c26离心率反映椭圆的_________e＝________直线与椭圆的位置关系相离、相切、相交相应方程组解的情况扁圆程度ca7思考探究椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有什么关系？提示：∵ac，∴e＝ca∈(0,1)，当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于零时，椭圆就越接近于圆．82．利用椭圆的方程，可以研究椭圆的几何性质，如求顶点坐标、焦点坐标，长轴和短轴的长以及离心率等．3．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．91.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±69)解析：由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上．所以c＝a2－b2＝132－102＝69.故焦点坐标为(0，±69)．答案：D102．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)长轴的两端点是A1、A2，且在椭圆上存在点M，使∠A1MA2＝120°，则椭圆离心率e的取值范围是()A.(0,1)B.(0，63]C.[63，1)D.不能确定，因结论不仅仅与e有关11解析：在椭圆上存在点M，使∠A1MA2＝120°⇔∠A1B2A2≥120°⇔∠OB2A2≥60°，ab＝tan∠OB2A2≥tan60°＝3，即3≤aa2－c2＝11－e2，故e≥63.答案：C123．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP→＝2PB→，则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.1213解析：如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝b2a，设P(0，t)，∵AP→＝2PB→，∴(－a，t)＝2(－c，b2a－t)．∴a＝2c.∴ca＝12.答案：D144．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．解析：设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a＝6，又e＝ca＝32，故c＝33，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆标准方程为x236＋y29＝1.x236＋y29＝1155．求椭圆16x2＋9y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．16解：椭圆方程变形为x29＋y216＝1，∴焦点在y轴上．这里a＝4，b＝3，c＝16－9＝7.∴长轴长2a＝2×4＝8，短轴长2b＝2×3＝6.离心率e＝ca＝74，焦点坐标：(0，－7)，(0，7)顶点坐标：(0，±4)，(±3,0)．17181.椭圆的离心率与其扁圆程度的关系(1)离心率公式：e＝ca＝1－ba2.(2)离心率范围：0e1.(3)离心率e是刻画椭圆的扁圆程度的比率：当e越接近于0时，c越接近于0，a与b越接近于相等，椭圆越接近于圆；当e越接近于1时，b越接近于0，a与c越接近于相等，椭圆越接近于线段A1A2.所以离心率越大，椭圆越扁．19注意：椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与椭圆x2a2＋y2b2＝λ和椭圆y2a2＋x2b2＝λ(ab0，λ0)的离心率相同．202．直线与椭圆的位置关系要解决直线与椭圆的位置关系问题，可把直线方程与椭圆方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC.若Δ0，则直线与椭圆没有公共点；若Δ＝0，则直线与椭圆有且只有一个公共点；若Δ0，则直线与椭圆有两个公共点．213．求椭圆中的弦长若直线与椭圆相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程y＝kx＋m，椭圆方程为：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，联立消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ0时，直线与椭圆相交，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2),则直线被椭圆截得的弦长；|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.22椭圆的简单几何性质例1已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[分析]解决本题的关键是确定m的值，应先将椭圆方程化为标准形式，用m表示a、b、c，再由e＝32求出m的值．23[解]椭圆方程可化为x2m＋y2mm＋3＝1，∵m－mm＋3＝mm＋2m＋30，∴mmm＋3.∴椭圆焦点在x轴．即a2＝m，b2＝mm＋3，c＝a2－b2＝mm＋2m＋3.由e＝32得，m＋2m＋3＝32，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋y214＝1.24∴a＝1，b＝12，c＝32.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－32，0)、F2(32，0)；四个顶点分别为A1(－1,0)、A2(1,0)、B1(0，－12)、B2(0，12)．25[点拨]解决有关椭圆的问题一般首先应弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置．(1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．(2)熟练掌握椭圆定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问题、求轨迹问题及其他有关问题的基础和关键．26练1已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．27[解]把椭圆的方程化为标准方程x29＋y24＝1.可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2；又得半焦距c＝a2－b2＝9－4＝5.因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2).28椭圆的离心率问题例2已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．29[分析]求椭圆的离心率就是利用e＝ca，可以直接求，也可以找a与c的关系，注意结合a、b、c、e之间的关系．30[解]解法一：由已知可设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，c2＝a2－b2，F1(－c,0)，因为PF1⊥F1A，所以P(－c，b1－c2a2)，即P(－c，b2a)，∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－ba＝－b2ac，∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝ca＝22.31解法二：由解法一知P(－c，b2a)，又△PF1O∽△BOA，∴PF1BO＝F1OAO，∴b2ab＝ca，即b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝ca＝22.32[点拨]由离心率的定义可知，求e的值，就是求a和c的值或a与c的关系，很多题目由于受到已知条件的限制不能同时解出a和c的值，只能将条件整理成a与c的关系式，进而求出ca.33练2已知椭圆的两个焦点F1，F2与短轴的端点B构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率．34[解]如图，|F1F2|＝2c，∵|BF1|＋|BF2|＝2a，且△BF1F2为等腰直角三角形．∴|BF1|＝|BF2|＝a＝2c，∴离心率e＝ca＝22.35直线与椭圆的位置关系例3椭圆ax2＋by2＝1(a0，b0)与直线x＋y＝1相交于点A，B两点，若|AB|＝22，且AB的中点C与原点O的连线的斜率为22，求椭圆的方程．[分析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程后得ax2＋b(1－x)2＝1，则x1，x2是此方程的两根．利用韦达定理可将|AB|及kOC用a，b表示出来，再解方程组即可求出a，b的值．36[解]设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝1－x代入ax2＋by2＝1，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0①则x1，x2是方程①的两根，所以x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b.又y1＝1－x1，y2＝1－x2，所以y1＋y2＝2－(x1＋x2)＝2aa＋b.37所以点C的坐标为(ba＋b，aa＋b)，所以kOC＝ab＝22，即b＝2a，把它代入方程①得(2＋1)ax2－22ax＋2a－1＝0.所以|AB|＝1＋－12|x1－x2|＝2·8a2－4a2＋12a－12＋1a＝22，即(2＋1)a－2a2＝(3＋22)a2，解得a＝13(或a＝0，舍去)．所以b＝23.故所求椭圆的方程为x23＋2y23＝1.38[点拨](1)有关直线与椭圆的问题，要注意应用韦达定理和弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|，以及公式|x1－x2|＝Δ|a|.(2)这里如果不先求kOC＝ab＝22得b＝2a，而是直接联立解方程组进行计算，则计算量较大，本题的解法主要运用了函数与方程的思想．39练3如图所示，已知斜率为1的直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．40[解]设A，B两点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝a2－b2＝3，∴F(3，0)，∴直线l的方程为y＝x－3，将其代入x2＋4y2＝4，并化简、整理得5x2－83x＋8＝0，∴x1＋x2＝835，x1x2＝85，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝2·832－4×5×85＝85.41椭圆的中点弦问题例4已知椭圆x216＋y24＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[分析]由于弦所在直线过定点P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值．也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．42[解]解法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝82k2－k4k2＋1.43∵P为弦AB的中点，∴2＝x1＋x22＝42k2－k4k2＋1.解得k＝－12，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.44解法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又∵A、B在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－12，即kAB＝－12.∴所求直线方程为y－1＝－12(x－2)．即x＋2y－4＝0.45解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，另一交点为B(4－x,2－y)，∵A、B在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①(4－x)2＋4(2－