胡寿松自控第二章教案

第二章控制系统的数学模型2第二章控制系统的数学模型•什么是控制系统的数学模型？控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。※如果描述变量之间关系的数学表达式是代数方程，则称其为静态数学模型；※描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫做动态数学模型。3第二章控制系统的数学模型为什么要建立数学模型：•需要了解系统的具体的性能指标;•只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的;•希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。4第二章控制系统的数学模型•建立控制系统数学模型的主要方法：分析法，实验法。•分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律等。5第二章控制系统的数学模型•实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辨识。黑（灰）箱输入输出6第二章控制系统的数学模型控制系统数学模型的形式：•时域：微分方程、差分方程、状态方程；•复数域：传递函数、结构图；•频域：频率特性等。7第二章控制系统的数学模型微分方程/传递函数/频率特性三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换8第二章控制系统的数学模型2-1控制系统的时域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型2-3控制系统的结构图与信号流图2-4数学模型的实验测定法92-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程列写元件微分方程的步骤:•根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其输入量和输出量；•分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相应的微分方程；•消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方程,便得到元件时域的数学模型；•系统微分方程的标准形式：输入在右，输出在左，方程两端变量的导数项按降幂排列。102-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程例2.1Li(t)ui(t)RCuo(t)112-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程()(1)()()()()(2)()()()()(3)()(2)(),(3)()()()()ioioooooiut=u+u+uLRCu=RitRditu=LLdt1ut=u=itdtCCditut=Rit+L+utdtdutit=Cdt2dutdutLC+RC+ut=ut2dtdt由式求得代入并整理得Li(t)ui(t)RCuo(t)122-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程SMSM负载Jm,fmm+-+-RaLauaifia-+Ea例2.2132-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程SMSM负载Jm,fmm+-+-RaLauaifia-+Ea142-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程152-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程16微分式（3）得到（4）用乘（3）的两端得到用乘（4）的两端得到)()()()(22tMdtddttdiCdttdfdttdJcammmmmaR)()()()(tMRtiRCtRfdttdRJcaaammammamaL)()()()(22tMdtdLdttdiLCdttdLfdttdLJcaaammammam17在将上述两式相加并利用（1）得到)()()()(tMRtiRCtRfdttdRJcaaammammam)()())(()()())()(()()()()(22tMRtMdtdLtCuCtMRtMdtdLtiRdttdiLCtRfdttdRJLfdttdLJcacameamcacaaaaammammamammam)()()()(22tMdtdLdttdiLCdttdLfdttdLJcaaammammam182-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程KmF(t)x(t)f192-1控制系统的时域数学模型1线性元件的微分方程KmF(t)x(t)f202-1控制系统的时域数学模型2控制系统微分方程的建立•由系统原理线路图画出系统方块图；•列写组成系统各元件的微分方程；•消去中间变量得到描述系统输出量和输入量之间关系的微分方程；212-1控制系统的时域数学模型2控制系统微分方程的建立相似系统•RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，为相似系统。•相似系统便于用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统，也便于控制系统的计算机数字仿真。22()()()()oooidutdutLCRCututdtdt22()()()()dxtdxtmfKxtFtdtdt222-1控制系统的时域数学模型3线性系统的基本特性•线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。•线性系统：若组成系统的各元件均为线性元件，则系统为线性系统。•非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。232-1控制系统的时域数学模型3线性系统的基本特性如果元件输入为r（t）、r1（t）、r2（t），对应的输出为c（t）、c1（t）、c2（t）如果r（t）=r1（t）+r2（t）时，c（t）=c1（t）+c2（t）则满足迭加性。如果r（t）=a·r1（t）时，c（t）=a·c1（t）则满足齐次性满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。242-1控制系统的时域数学模型3线性系统的特性例如y=kx是线性元件输入x1y1输出x2y2输入x1＋x2对应输出y1＋y2满足迭加性k为常数，kx1ky1满足齐次性所表示的元件为线性元件252-1控制系统的时域数学模型3线性系统的特性线性方程不一定满足迭加性和齐次性。y=kx+b(b为常数0)线性方程，所表示的元件不是线性元件.输入x1y1输出y1＝kx1+bx2y2y2=kx2+b输入x1＋x2输出y=k(x1＋x2)+b=kx1+kx2+by1+y2不满足迭加性262-1控制系统的时域数学模型3线性系统的特性k为常数:kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+bky1=k(kx1+b)=k2x1+kbyky1不满足齐次方程。所表示的元件不是线性元件。又例如：元件的数学模型为：线性元件)()()(txtyty不是线性元件btxtyty)()()(272-1控制系统的时域数学模型3线性系统的基本特性重要特点：迭加性表明：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。28考虑下述线性系统)(()(2)(trtxtxtx）选取输入)(1),sin(21trtr和21rr相应的系统输出由下图所示051015202530-0.500.511.529)sin(2),sin(21trtr选取输入为相应的系统输出由下图所示051015202530-1-0.500.511.5302-1控制系统的时域数学模型4线性定常微分方程的求解拉氏变换法求解微分方程：•考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；•由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；•对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为求微分方程的解。312-1控制系统的时域数学模型4线性定常微分方程的求解•例2-6L=1Hi(t)ui(t)=1VR=1ΩC=1Fuo(t)uo(0)=0.1vi(0)=0.1A322-1控制系统的时域数学模型4线性定常微分方程的求解例2-6记则有)0()()(1|)()()(000000000ussUdtetusetudtetutuLststst)()()()(00202tutudttduRCdttudLCi)()(),()(00sUtuLsUtuLii)0()0()()(00020ususUstuL33)0()0()0(0000002RCuusuLCUURCsUULCsi11200020RCsLCsuLCRCusLCuRCsLCsUUi由于1.0)()0(1.0)0(,1.0)0(,1,1,100000ttCtidtduuuiRCL12.01.01220sssssUUi于是342-1控制系统的时域数学模型4线性定常微分方程的求解352-1控制系统的时域数学模型4线性定常微分方程的求解拉氏变换法求解微分方程：•考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；•由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；•对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为求微分方程的解。362-1控制系统的时域数学模型5非线性微分方程的线性化372-1控制系统的时域数学模型5非线性微分方程的线性化382-1控制系统的时域数学模型5非线性微分方程的线性化392-1控制系统的时域数学模型5非线性微分方程的线性化402-1控制系统的时域数学模型5非线性微分方程的线性化41对于多变量函数同样可以在某个工作点的附近应用多元函数Taylor公式将其展开略去高阶项得到),(21xxfy2010,xx)(|),(101),(120102010xxxfxxfyxx......)(|)(|)(|22022222101212202),(2)20,10()20,10(2010xxxfxxxfxxxfxxxxxx2211221),(20||)20,10(2010xKxKxxfxxfyyyxxxx42例2-7设铁芯线圈磁通量变化时产生的感应电势为dtidKu)(1根据基尔霍夫定律写出电路微分方程RidtdidiidKRidtidKRiuur)()(11Riru43其中是线圈中电流i的非线性函数。因此所得到的方程是一个非线性方程。现在假定电路中电流与电压值在某平衡点附近作微小变化，则有当充分小时，忽略高阶导数项，便得到diid)(),(00iu)(!2)()()()(2000idiididiidiiiii44令：，并略去增量符号，便得到磁通量与电流之间的增量线性化方程：带入前面的方程后得到iKiidiidiii)()()()(000)()(0iiKii)(ruRidtdiKK1452-1控制系统的时域数学模型6运动的模态常系数齐次线性微分方程的通解1.特征根是单根的情况：设是上述方程的n各不同的特征根，则方程具有n个线性无关的解0...111xadtdxadtxdadtxdnnnnnn,......,,21tttneee,......,,2146如果方程有复特征根则方程有两个线性无关的实值解有如果方程有重根，设是k1重根。则是k1个线性无关解，称为方程（系统）的运动模态。jtetettsin,cos1tktttetetee1111112,.....,,t,472-1控制系统的时域数学模型6运动的模态48在例2.6中齐次线性方程的特征方程是特征根为。于是系统的运动模态是系统的任何一个解均可表示为下述形式012866.05.0jtetett866.0sin,866.0cos5.05.0tectectutt866.0sin866.0cos)(5.025.010第二章控制系统的数学模型50第二章控制系统的数学模型2-2控制系统的复数域数学模型•传递函数：线