用空间向量求直线与平面所成的角

AlOP特别地，若,则与所成的角是直角，若或，则与所成的角是零角。lll//ll一条直线与一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。AlPOAO斜线与平面所成角的范围：0,2思考：结论：nnPAPn,n设平面的法向量为则与的关系？APn,-22-,APnAPn,cossinAOnn例：1111ABCDABCD正方体的棱长为1.求直线与平面所成角的正弦值。(000)A，，，1(101)B，，，(110)C，，，1(101)(110)ABAC，，，，，1(111)C，，，11(010)BC则，，，1()ABCnxyz设为，，平面的法向量100nABnAC则，0=10==-1xzxyn=(1-1-1)，，，，，，xyz所以取得故110103cos313nBC，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyzABCD1A1B1C1Dxyz11CBCAB1向量法求线面角的一般步骤(1)恰当的构建空间直角坐标系；(2)正确求得所对应点的坐标，直线的方向向量的坐标及平面的法向量的坐标；(3)求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值；(5)根据题意，转化为几何结论.(4)取步骤(3)中两向量夹角的余弦值的绝对值，其对应于线面角的正弦值；在立体几何中涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。用几何法求这些角，需要经过“找（作）”、“证”、“算”等步骤，过程较为繁琐，若归结为求两个向量的夹角问题，可将问题简单化。本节课，我们主要探讨“直线与平面所成的角”也即“线面角”的求法。