《函数的单调性、奇偶性》复习教案高品质版

《函数的单调性、奇偶性》复习教案一、函数的单调性一、函数的增减性即函数的单调性直观的说：在某区间上，增函数图象上升减函数图象下降二、函数的增减性即函数的单调性准确的说：设函数y=f(x)的定义域为A,区间DA.区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，（1）x1x2时，都有f(x1)＜f(x2)f(x)在区间D上是单调增函数即1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是增函数；（2）x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)f(x)在区间D上是单调减函数即1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是减函数.单调性：注意，只要一说起单调函数，一定存在单调区间，并且判断单调性不能跨区间进行讨论。三．证明函数f(x)在区间M上具有单调性的方法：定义法；图像法；性质1.函数)(xf在定义域上是单调函数，且)(xf＞0，那么在同一定义域上，)(xfy、)(1xfy与()yfx单调性相反；axfy)(、()yfx与()yfx单调性相同2.对于两个函数而言：增函数+增函数=增函数增函数-减函数=增函数减函数-增函数=减函数减函数+减函数=减函数四、证明函数f(x)在区间M上具有单调性的方法：利用定义利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．五、单调性应用类型一函数的最值问题若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上是单调函数，则函数y=f（x）在[a，b]上一定有最大、小值。①若y=f（x）在[a，b]上是单调递增函数，则y=f（x）的最大值是f（b），最小值是f（a）；②若y=f（x）在[a，b]上是单调递减函数，则y=f（x）的最大值是f（a），最值是f（b）③函数y=f(x)在区间[a，b]上递增，在区间[b，c]上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；④如果函数y=f(x)在区间[a，b]上递减，在区间[b，c]上递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；例1：求下列函数的值域(1)y=2x-3,x[-3,5](2)y=5-6x,x[-1,2](3)2141yxx(3)112yxx例：已知：函数(1)判断f(x)在[3，5]上的单调性，并证明；（2）求f(x)在[3，5]上的最值。（1）解f(x)在[3，5]上是减函数证明：任取两个值x1、x2∈[3，5]，且x1＜x2．121221211212121211(1)(2)(1)(2)3()()()22(2)(2)(2)(2)xxxxxxxxfxfxxxxxxx∵x1、x2∈[3，5]，且x1＜x2．∴x2-x10,12(2)(2)xx0∴1212()()0()()fxfxfxfx即∴f(x)在[3，5]上是减函数（2）∵f(x)在[3，5]上是减函数∴maxmin()(3)4()(5)2fxffxf类型二已知单调性求参数值或取值范围例：函数,2)1(2)(2xmxxf当,4x时是增函数，4,x时是减函数，求m值。分析：由题意知对称轴412)1(2mmx所以3m4：（1）函数2)1(2)(2xmxxf在区间)4,(上是减函数，求实数m的取值范围。(2)已知2)1(2)(2xmxxf在区间,4是增函数，求m的取值范围。类型三利用函数的单调性解不等式(1)由函数的单调性的定义知：已知数y=f（x）在定义域的某个区间为增函数，若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），反之，若f（x1）＜f（x2）时，则x1＜x2。(2)当y=f（x）在定义域某个区间上为减函数时，若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），反之，若f（x1）＞f（x2）则有x1＜x2。例:函数f(x)在(0,+)上是减函数,比较f(a2－a+1)与f(34)的大小.解:a2－a+1=212a+34340又因为f(x)在(0,+)上为减函数.21)(xxxf所以f(a2－a+1)f(34)注意:本题的关键是利用函数在(0,+)上单调性.例3.已知f(x)在它的定义域[－17，+）上是增函数,且f(3)=0,试解不等式f(7x－5)0。解:因为f(3)=0,所以原不等式等价于f(7x－5)f(3)又f(x)在其定义域[－17，+）上是增函数所以即7517753xx即7121287877xxx注意:解此题的关键是脱去函数符号,脱去函数符号的主要依据是函数的单调性，同时，要特别注意函数的定义域，否则可能产生增根.例1：（定义在R上的函数f(x)对任意两个实数a,b,总有0)()(babfaf成立，则必有（）A．函数)(xf是奇函数B．函数)(xf是偶函数C．函数)(xf是增函数D．函数)(xf是减函数2.已知(31)4,1()a,1xaxaxfxx是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）二、函数的奇偶性一．定义：对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有①f(-x)=f(x)〔或f(-x)-f(x)=0f(x)为偶函数图象关于y轴对称②f(-x)=－f(x)或f(-x)＋f(x)=0f(x)为奇函数图象关于原点对称如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性注：（1）函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的，要与单调性区别开来.2）奇、偶函数的定义域关于原点对称3）函数()fx是奇函数，并在x=0处有定义，则f(0)=04）函数()fx是偶函数，则()=()fxfx二．题型一：判断函数奇偶性的方法：①定义法（定义域必须是关于原点成中心对称，否则这个函数一定是非奇非偶函数。）用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、首先确定函数的定义域,并且判断其定义域是否关于原点对称(2)、确定f(-x)与f(x)的关系(3)、作出相应结论若有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数若有f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数②图象法③性质偶函数±偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数；奇函数乘（或除）奇函数=偶函数；奇函数±偶函数=非奇非偶函数，例：已知函数y=f(x)的图象如图所示，判断此函数的奇偶性.三．奇偶性的应用1.利用奇偶性作函数图象例、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.例、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.2．利用函数的奇偶性，求函数式例：设函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)=2x(1-x),求：当x0时，f(x)的表达式.解：由y=f(x)是定义域为R的奇函数，知f(-x)=-f(x)当x0时，-x0，∵当x0时，f(x)=2x(1-x),∴x0时f(x)=-f(-x)=-2（-x）[1-(-x)]=2x(1+x)即x0时f(x）=-2x(1+x例已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)=x2-2x-1,求函数f(x)的解析式。解：由y=f(x)是定义域为R的奇函数，知f(-x)=-f(x)当x0时，-x0，∵当x0时，f(x)=x2-2x-1,∴x0时f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)-1]=-x2-2x+1,即x0时f(x）=-x2-2x+1当x=0时，f(-0)=-f(0)即f(0)=0，练习：已知y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f(x)=x2-2x,求x0时f(x)的解析式。3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数，若f(x)-g(x)=21xx，求f(x)、g(x).3.利用函数的奇偶性，求函数值1)f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0，若f(-8)=-6，则f(8)=6,f(x)是R上的偶函数，若f(-8)=-6，则f(8)=-62已知函数f(x)=ax3+bx+2，且f(-5)=7，则f(5)=__.解法一：f(-5)=7即a(-5)3+b(-5)+2=7∴125a+5b=-5∵f(5)=a53+b5+2=125a+5b+2∴f(5)=-5+2=-3解法二：f(x)=ax3+x2+bx+2化为f(x)-2=ax3+bx令g(x)=ax3+bx则g(x)是奇函数，且g(x)=f(x)-2.∴g(-5)+g(5)=0,即f(-5)-2+f(5)-2=0∵f(-5)=7，∴f(5)=-34.已知函数的奇偶性，求参数的值1.已知函数f(x)=ax2+bx+5是定义在区间(2a-3，1)上是偶函数，则a=___，b=____解解∵奇、偶函数的定义域关于原点对称∴2a-3+1=0∴a=1∴f(x)=x2+bx+5因因为为f(x)是是偶偶函函数数所所以以f(-x)=f(x),即f(-x)-f(x)=0∴（-x）2+b（-x）+5-（x2+bx+5）=0∴-2bx=0∴b=022、、已已知知33()3fxxxa是是奇奇函函数数，，试试求求aa的的值值；；解解法法一一。。因因为为f(x)是是奇奇函函数数所所以以f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=022210()00210xxxfxxxxx，故，，所以333()xxa++333xxa=0∴a=0解法二：函数是奇函数，并在零点处有定义，则它在零点处的函数值一定是0即f(0)=0∵由f(x)知f(0)=a∴a=05。函数的奇偶性与单调性的关系重要结论：1).奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，则f(x)在[-b，-a]上也是增函数。奇函数f(x)在[a，b]上是减函数，则f(x)在[-b，-a]上也是减函数。即奇函数在其对称区间上单调性是一致的。2.)偶函数f(x)在[a，b]上是增函数，则f(x)在[-b，-a]上是减函数。偶函数f(x)在[a，b]上是减函数，则f(x)在[-b，-a]上是增函数。即偶函数在其对称区间上单调性是相反的。例.函数y=f(x)是偶函数,且在[a，b]上是减函数，证明:y=f(x)在[-b，-a]上是增函数。证明：设-b≤x1x2≤-a，则b≥-x1-x2≥a，∵已知f(x)在[a，b]上是减函数，∴f(-x1)f(-x2).又f(x)是偶函数，∴f(x1)f(x2).由此可知，函数y=f(x)在[-b，-a]上是增函数。2.已知函数y=f(x)是奇函数,且在[a，b]上是减函数，证明:y=f(x)在[-b，-a]上是增函数。奇偶性与单调性的综合运用1、已知奇函数)(xf在定义域[2,2]上递减，求满足(1)()0fmfm的实数m的取值范围.解：(1)()0fmfm(1)()fmfm∵)(xf是奇函数(1)()fmfm又奇函数)(xf在定义域[2,2]上递减121222mmmm,解得112m.2．已知函数()yfx是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若()(2)faf，则实数a的取值范围是（）知识分析：若)(xf是偶函数，利用)(xf为偶函数的特性：)(xf=()fx=|)(|xf,将x（－,+）的问题退到|x|,0上来解.解题分析：∵()yfx是R上的偶函数∴()(2)faf可化为()(2)faf∵()yfx是R上的偶函数且在（-∞，0]上是减函数∴()yfx在[0,)上是增函数∴2a∴a≤-2或a≥23.)(xf是定义在R上的偶函数，在]0,(上是减函数，且0)2(f，则使得xxf的0)(的取值范围是_______