旋转体的侧面积补充

四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长机动目录上页下页返回结束定积分在几何学上的应用第六章一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfyxxxdxxfAbad)(机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为yobxa)(2xfy)(1xfyxxfxfAbad)()(21xxxd例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.xxy2oy2xyxxxd解:由得交点)1,1(,)0,0()1,1(1xxxAdd23110A机动目录上页下页返回结束xxy22oy4xy例2.计算抛物线xy22与直线的面积.解:由得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184xy所围图形)2,2(为简便计算,选取y作积分变量,则有yyyd42A机动目录上页下页返回结束abxoyx例3.求椭圆解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得202dsin4ttbaba4212ba当a=b时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束xxd一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.)cos1(tadA解:ttad)cos1(ttad)cos1(2022ttad2sin42042)2(tu令uuadsin8042uuadsin16204223a20A机动目录上页下页返回结束xyoa22.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.)(rxd在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A机动目录上页下页返回结束对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:xa2odd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上页下页返回结束到2所围图形面积.ttadcos82042例6.计算心形线所围图形的面积.解:xa2odd)cos1(2122a02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a心形线目录上页下页返回结束2coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,2221aA2221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa机动目录上页下页返回结束a2sin2a例8.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,d2cos212a402a)2(d2cos则所求面积为2a思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2ar所围公共部分的面积.2Adsin2026ad2cos21462a机动目录上页下页返回结束yox44答案:二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni10lims机动目录上页下页返回结束则称sdyxabo(1)曲线弧由直角坐标方程给出:)(xfy弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs机动目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)]([)]([22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):(自己验证)机动目录上页下页返回结束)ch(cxccxccsh1例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线.求这一段弧长.解:xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxcsh20bcbcsh22chxxeex)(chx2shxxeex)(shxxshxch机动目录上页下页返回结束cxbboy下垂悬链线方程为例10.求连续曲线段解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动目录上页下页返回结束例11.计算摆线一拱的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd)cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动目录上页下页返回结束xyoa2d222aa例12.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:)0(aarxa2oard)()(22rrsdd12ad1202as(P349公式39)212a21ln2102小结目录上页下页返回结束三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(机动目录上页下页返回结束xabx)(xA上连续,xyoabxyoab)(xfy特别,当考虑连续曲线段2)]([xf轴旋转一周围成的立体体积时,有xdbaV当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2)]([yyddcVxxoy)(yxcdy机动目录上页下页返回结束ayxb例13.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xyd2机动目录上页下页返回结束x方法2利用椭圆参数方程则xyVad202ttabdsin23222ab32234ab1特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.343a机动目录上页下页返回结束xyoa2例14.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性2022)cos1(tattad)cos1(ttad)cos1(2033ttad2sin16063uuadsin322063332a6543212325aay机动目录上页下页返回结束)2(tu令xyoa2a绕y轴旋转而成的体积为a222)sin(ttattadsin2)(2yxx22)sin(ttattadsin0注意上下限!2023dsin)sin(tttta注注目录上页下页返回结束)(1yxx柱壳体积说明:xxxdy柱面面积机动目录上页下页返回结束2)sin(tta)cos1(ta偶函数ttattad)cos1()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu令043dsin)2sin2(16uuuua2uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函数机动目录上页下页返回结束例15.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0xxfttd)(20xxfxtd)(20xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV机动目录上页下页返回结束故例16.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,222Ryx解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动目录上页下页返回结束oRxyxoRxy思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?),(yx)(yA提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22机动目录上页下页返回结束abco垂直x轴的截面是椭圆1)1()1(22222222axaxczby例17.计算由曲面所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为xbcaxd)1(22bc20abca34特别当a=b=c时就是球体体积.aV02x233axx机动目录上页下页返回结束的体积.ox12yBC3A例18.求曲线132xy与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)解:利用对称性,y10x,22x21x,42x故旋转体体积为V432xxd)]2(3[21022xxd)1(2361022xxd)1(22122xxd)1(2202215448在第一象限机动目录上页下页返回结束xxd)]4(3[22122xyoab四、旋转体的侧面积(补充)设平面光滑曲线求sySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:机动目录上页下页返回结束xyoab)(xfyabxxyo)(xfyabxsySd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的)(2ttttd)()(22S机动目录上页下页返回结束注意:侧面积为xRyo例19.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得212xxS22xR2122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高h＝2R时,得球的表面积公式24RS机动目录上页下页返回结束1x2xozyx例20.求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:利用对称性2022Sta3sin22ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin51122512attacossin32绕x轴旋转星形线目录上页下页返回结束内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小机动目录上页下页返回结束3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体