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第1页(共9页)数列综合(奇偶项)一.选择题(共1小题)1.设{an}是公比为q的等比数列,其前n项的积为Tn,并且满足条件:a1>1,a99a100﹣1>0,𝑎99−1𝑎100−1<0.给出下列结论:①0<q<1;②T198<1;③a99a101<1;④使Tn<1成立的最小的自然数n等于199.其中正确结论的编号是()A.①②③B.①④C.②③④D.①③④二.填空题(共1小题)2.已知函数f(n)={𝑛2(当𝑛为奇数时)−𝑛2(当𝑛为偶数时),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于.三.解答题(共20小题)3.各项均为正数的等比数列{an}满足a2=3,a4﹣2a3=9.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(2n﹣1)•log3a2n+2(n∈N*),数列{1𝑏𝑛}的前n项和为Tn,证明:Tn<12.4.已知数列{an}的前n项和𝑆𝑛=𝑛2−2𝑘𝑛(k∈N*),Sn的最小值为﹣9.(1)确定k的值,并求数列{an}的通项公式;(2)设𝑏𝑛=(−1)𝑛⋅𝑎𝑛,求数列{bn}的前2n+1项和T2n+1.5.已知数列{an}满足a1=2,𝑎𝑛+1+2𝑎𝑛=(−1)𝑛(n∈N*).(Ⅰ)求证:数列{𝑎𝑛−(−1)𝑛}是等比数列;(2)设𝑏𝑛=−2𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1,数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn<m对任意n∈N*恒成立,求实数m的取值范围.6.设Sn是等差数列{an}的前n项和,满足a2=5,S5=35,Tn是数列{bn}的前n项和,满足Tn=2bn﹣1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)令𝑐𝑛={2𝑆𝑛,𝑛=2𝑘−1𝑎𝑛𝑏𝑛,𝑛=2𝑘(𝑘∈𝑁∗),设数列{cn}的前n项和Pn,求P2n的表达式.7.等差数列{an}前n项和为Sn,且S4=32,S13=221.(1)求{an}的通项公式an;(2)数列{bn}满足𝑏𝑛+1−𝑏𝑛=𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)且b1=3,求{1𝑏𝑛}的前n项和Tn.8.设数列{an}满足a1=1,𝑎𝑛+1=44−𝑎𝑛(n∈N*)(1)求证:数列{1𝑎𝑛−2}是等差数列;第2页(共9页)(2)设bn=𝑎2𝑛𝑎2𝑛−1,求数列{bn}的前n项和为Tn.9.设数列{an}的前项n和为Sn,且满足a𝑛−12𝑆𝑛−1=0(𝑛∈𝑁∗).(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在实数λ,使得数列{Sn+(n+2n)λ}为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.10.已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:ak1,ak2,…,akn,恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn.11.已知数列{an}中a1=1,且a2k=a2k﹣1+(﹣1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….(I)求a3,a5;(II)求{an}的通项公式.12.设数列{an}的首项a1=12,且an+1={12𝑎𝑛(𝑛为偶数)𝑎𝑛+14(𝑛为奇数),记bn=a2n﹣1−14(n∈N*)bn=a2n﹣1−14(n∈N*).(1)求a2,a3;(2)证明:{bn}是等比数列;(3)求数列{3𝑛+1𝑏𝑛}的前n项和Tn.13.Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,2𝑆𝑛=𝑎𝑛+12−𝑎𝑛+1−2,且a1=2.(1)求{an}的通项公式(2)设𝑐𝑛=(−1)𝑛𝑎𝑛2,求c1+c2+…c2018的值.14.设等差数列{bn}的前n项和为Sn,已知b2=4,S5=30.(Ⅰ)求{bn}的通项公式;(Ⅱ)设an=bncosnπ,求数列{an}的前30项和T30.15.已知数列{an}中,a1=1,a2=4,an+1=4an﹣3an﹣1(n≥2).(Ⅰ)证明:{an+1﹣an}为等比数列,并求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=(3𝑛2−𝑎𝑛)(−1)𝑛𝑛,求{𝑏𝑛}的前n项的和Sn.16.已知数列{an},满足a1=1,2anan+1+3an+1=3an;(1)求{an}的通项公式;(2)若𝑐𝑛=(−1)𝑛+11𝑎𝑛𝑎𝑛+1,求{cn}的前2n项的和T2n17.已知Sn为数列{an}的前n项和,𝑆𝑛=2𝑎𝑛−2(𝑛∈𝑁+),数列{bn}满足2𝑏𝑛=𝑆𝑛+1−𝑆𝑛(𝑛∈𝑁+).(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)若𝑐𝑛=𝑎𝑛+(−1)𝑛𝑏𝑛,求数列{cn}的前2n项和T2n.第3页(共9页)18.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,数列{𝑏𝑛𝑛}是公差为1的等差数列,若a1=2b1,a4﹣a2=12,S4+2S2=3S3.(I)求数列{an},{bn}的通项公式;(II)设cn={𝑛𝑏𝑛(𝑛+2)(𝑛为奇数)2𝑎𝑛(𝑛为偶数),Tn为{cn}的前n项和,求T2n.19.已知等差数列{an}的前n项和味Sn,a1>0,a1•a2=32,S5=10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记数列bn={2𝑎𝑛,𝑛为奇数𝑎𝑛,𝑛为偶数,求数{bn}的前2n+1项和T2n+1.20.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(﹣1)nanan+1,求数列{bn}的前2n项的和S2n.21.已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=2an﹣1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列bn=(−1)𝑛+12an+3(n∈N*)的前2n项的和T2n.22.已知数列{an}满足a1=3,𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+(−1)𝑛(3𝑛+1).(1)求证:数列{𝑎𝑛+(−1)𝑛𝑛}是等比数列;(2)求数列{an}的前10项和S10.第4页(共9页)参考答案与试题解析一.选择题(共1小题)1.【解答】解:∵a99a100﹣1>0,∴a12•q197>1,∴(a1•q98)2>1∵a1>1,∴q>0,又∵𝑎99−1𝑎100−1<0∴a99>1,a100<1.∴0<q<1,即①正确,又∵T198=a1198•q1+2+…+197=(a99•a100)99>1∴②不正确,a99a101=a1002<1,∴③正确;满足𝑇𝑛=𝑎1⋅𝑞𝑛−12<1的最小自然数n满足𝑛−12=99,即n=199,∴④正确.∴正确的为①③④故选:D.二.填空题(共1小题)2.【解答】解:∵an=f(n)+f(n+1)∴由已知条件知,𝑎𝑛={𝑛2−(𝑛+1)2=−(2𝑛+1)𝑛是奇数−𝑛2+(𝑛+1)2=2𝑛+1𝑛是偶数∴𝑎𝑛=(−1)𝑛⋅(2𝑛+1),∴an+an+1=2(n是奇数)∴a1+a2+a3+…+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=2+2+2+…+2=100故答案为:100三.解答题(共20小题)3.【解答】解:(1)设等比数列{an}的公比为q,q>0,由a2=3,a4﹣2a3=9得3(q2﹣2q)=9,解得q=3或q=﹣1.因为数列{an}为正项数列,所以q=3,所以,首项a1=𝑎2𝑞=1,故其通项公式为an=3n﹣1,n∈N*;(2)证明:由(1)得bn=(2n﹣1)•log3a2n+2=(2n﹣1)log332n+1=(2n﹣1)(2n+1),所以1𝑏𝑛=1(2𝑛−1)(2𝑛+1)═12(12𝑛−1−12𝑛+1),即有前n项和Sn=12(1−13+13−15+⋯+12𝑛−1−12𝑛+1)=12(1−12𝑛+1)<12.4.【解答】满分(12分).解:(1)由已知得𝑆𝑛=𝑛2−2𝑘𝑛=(𝑛−𝑘)2−𝑘2,因为k∈N*,当n=k时,(𝑆𝑛)𝑚𝑖𝑛=−𝑘2=−9,故k=3;所以𝑆𝑛=𝑛2−6𝑛.因为𝑆𝑛−1=(𝑛−1)2−6(𝑛−1),(n≥2),所以𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=(𝑛2−6𝑛)−[(𝑛−1)2−6(𝑛−1)],得an=2n﹣7(n≥2).当n=1时,S1=﹣4=a1,综上,an=2n﹣7.(2)依题意,𝑏𝑛=(−1)𝑛⋅𝑎𝑛=(−1)𝑛(2𝑛−7),所以𝑇2𝑛+1=5−3+1+1−3+5+⋯⋯+(−1)2𝑛(4𝑛−7)+(−1)2𝑛+1[2(2𝑛+1)−7]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=5−(2+2+⋯+2)︸𝑛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=5﹣2n.5.【解答】(Ⅰ)证明:𝑎𝑛+1−(−1)𝑛+1𝑎𝑛−(−1)𝑛=−2𝑎𝑛+(−1)𝑛−(−1)𝑛+1𝑎𝑛−(−1)𝑛=−2𝑎𝑛+2(−1)𝑛𝑎𝑛−(−1)𝑛=−2,……(3分)且首项a1+1=3≠0,∴数列{𝑎𝑛−(−1)𝑛}是等比数列.第5页(共9页)(Ⅱ解:𝑏𝑛=−2𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1=−2𝑛(−1)𝑛−1(3×2𝑛−1−1)(−1)𝑛(3×2𝑛−1)=2𝑛(3×2𝑛−1−1)(3×2𝑛−1)=23(13×2𝑛−1−1−13×2𝑛−1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴𝑇𝑛=23(12−13×2𝑛−1)<13,∴𝑚≥13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6.【解答】解:(Ⅰ)∵{an}是等差数列S5=35,∴𝑆5=5(𝑎1+𝑎5)2=35,a3=7,∵a2=5,∴d=2,∴an=a2+(n﹣2)•2=2n+1.当n=1时T1=2b1﹣1,∴b1=1.当n≥2时Tn﹣1=2bn﹣1﹣1又∵Tn=2bn﹣1,∴bn=2bn﹣2bn﹣1bn=2bn﹣1∴{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴𝑏𝑛=2𝑛−1.(Ⅱ)∵𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=𝑛(𝑛+2),∴2𝑆𝑛=2𝑛(𝑛+2)=1𝑛−1𝑛+2设前2n项中奇数项的和为An,偶数项的和为Bn𝐴𝑛=1−13+13−15+15−⋯+12𝑛−1−12𝑛+1=1−12𝑛+1=2𝑛2𝑛+1.𝐵𝑛=𝑎2𝑏2+𝑎4𝑏4+⋯+𝑎2𝑛𝑏2𝑛=5×21+9×22+⋯+(4𝑛+1)×22𝑛−1①4𝐵𝑛=5×22+9×23+⋯+(4𝑛+1)×22𝑛+1②,①﹣②得:−3𝐵𝑛=5×21+4×(23+25+⋯+22𝑛−1)−(4𝑛+1)×22𝑛+1.−3𝐵𝑛=5×21+4×23−22𝑛−1⋅41−4−(4𝑛+1)×22𝑛+1,−3𝐵𝑛=5×21+4×(−83+22𝑛+13)−(4𝑛+1)×22𝑛+1−3𝐵𝑛=−23+(13−4𝑛)⋅22𝑛+1𝐵𝑛=(12𝑛−1)⋅22𝑛+19+29.∴𝑃2𝑛=(12𝑛−1)⋅22𝑛+19+29+2𝑛2𝑛+1.7.【解答】解:(1)等差数列{an}的公差设为d,前n项和为Sn,且S4=32,S13=221.可得4a1+6d=32,13a1+78d=221,解得a1=5,d=2,可得an=5+2(n﹣1)=2n+3;(2)由bn+1﹣bn=an=2n+3,可得bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)=3+5+7+…+2n+1=12n(2n+4)=n(n+2),1𝑏𝑛=12(1𝑛−1𝑛+2),则前n项和Tn=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1𝑛−1−1𝑛+1+1𝑛−1𝑛+2)=12(32−1𝑛+1−1𝑛+2).8.【解答】解:(1)由𝑎1=1,𝑎𝑛+1=44−𝑎𝑛.可得2−𝑎𝑛2𝑎𝑛−4=−12为常数,从而可得数列{1𝑎𝑛−2}是﹣1为首项,−12为公差的等差数列;(2)由(1)知𝑎𝑛=2𝑛𝑛+1,则𝑏𝑛=𝑎2𝑛𝑎2𝑛−1=4𝑛2(2
本文标题:数列求和练习(奇偶项)
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