沪教版中考复习：一模复习之相似三角形的存在性

1/13相似三角形的存在性是上海初中数学中考一模考试中的热点，也是难点，通常会在24题和25题中出现，大部分题型分为以二次函数为背景的相似三角形存在性问题和以几何图形为背景相似三角形问题．以二次函数为背景的相似三角形问题，即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求解二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适的点使得所求三角形相似是需要重点突破的难点，而且通常不止一种情况，需注意分类讨论．以几何图形为背景的相似三角形问题，通常是注重考查相关的几何定理和性质，有时也会涉及到图形运动（翻折、旋转和点的运动）的问题．若遇到动点问题，需要弄清“动点有一个还是两个？”、“运动路线是线段、射线，还是直线，或者是折线？”、“点的运动的速度是多少？”这几个问题，然后根据题目给出的条件结合常见的基本图形解题规律是解决此类问题常用的策略．相似三角形的存在性问题主要考察同学们根据实际情况对题目进行分类讨论的数学思想，分类讨论的基础上，利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解是常用的方法．相似三角形的存在性考点分析2/13OxyOABxy【例1】（2015学年·徐汇区一模·第24题）如图，在RtAOB中，90AOB，已知点A（1，1），点B在第二象限，22OB，抛物线235yxbxc经过点A和B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线235yxbxc的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AOBO、的延长线交于点CD、，设点E在直线AB上，当BOE和BCD相似时，直接写出点E的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【例2】（2015学年·黄浦区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线23yaxaxc与x轴交于A（1，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）求证：CAOBCO；（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作BEOD，垂足为BOD外一点E，若BDE与ABC相似，求点D的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】例题解析3/13xyOPABC【例3】（2014学年·虹口区一模·第24题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（3，1），二次函数2yx的图像为C1．（1）向上平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2经过点A，求抛物线C2的表达式；（2）平移抛物线C1，使平移后的抛物线C3经过A、B两点，抛物线C3与y轴交于点D，求抛物线的表达式以及点D的坐标；（3）在（2）的条件下，记OD中点为E，点P为抛物线C3对称轴上一点，当ABP与ADE相似时，求点P的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【例4】（2015学年·闵行区一模·第24题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2yxbxc的图像与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数2yxbxc的解析式；（2）联结PO、PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形'POPC，如果四边形'POPC为菱形，求点P的坐标；（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，请求出此时点P的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】-1ABxyO1-14/13ABCDEOxyxyABCOP【例5】（2015学年·闸北区一模·第24题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），对称轴为直线1x，对称轴交x轴于点E．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；（3）联结BD，设点P在线段BD上，若EBP与ABD相似，求点P的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【例6】（2014学年·徐汇区一模·第24题）已知：如图，抛物线C1：24yaxaxc的图像开口向上，与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P，AB=2，且OA=OC．（1）求抛物线C1的对称轴和函数解析式；（2）把抛物线C1的图像先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，并与y轴的交于点F（0，1），求抛物线C2的函数解析式；（3）在（2）的基础上，点G是y轴上一点，当APF与FMG相似时，求点G的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】5/13OABDxyxyOAB【例7】（2014学年·金山区一模·第24题）如图，已知直线26yx与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线22yaxbx（0a）经过点A和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合），过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H．当FGGH时，求点H的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当AEM与BCM相似时，求点M的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【例8】（2014学年·普陀区一模·第24题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）和点B（0，2m）（m0），点C在x轴上（不与点A重合）．（1）当BOC与AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）；（2）当BOC与AOB全等时，二次函数2yxbxc的图像经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标；（3）P是（2）的二次函数的图像上一点，90APC，求点P的坐标及ACP的度数．【难度】★★★【答案】【解析】6/13【例9】（2014学年·嘉定区一模·第25题）已知在ABC中，8ABAC，4BC，点P是边AC上的一个动点，APDABC，AD//BC，联结DC．（1）如图1，如果DC//AB，求AP的长；（2）如图2，如果直线DC与边BA的延长线交于点E，设APx，AEy，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如图3，如果直线DC与边BA的反向延长线交于点F，联结BP，当CPD与CBF相似时，试判断线段BP与线段CF的数量关系，并说明你的理由．【难度】★★★【答案】【解析】EFABCDPABCDPABCDP图1图2图37/13ABCDEOABCDO【例10】（2014学年·崇明县一模·第25题）已知在ABC中，5ABAC，6BC，O为边AB上一动点（不与A、B重合），以O为圆心OB为半径的圆交BC于点D，设OBx，DCy．（1）如图1，求y关于x的函数关系式及定义域；（2）当O与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；（3）如图2，若O与边AC交于点E（有两个交点时取靠近C的交点），联结DE，当DEC与ABC相似时，求x的值．【难度】★★★【答案】【解析】8/13OxyxyOABCDEF【习题1】（2015学年·普陀区一模·第24题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数273yaxxc的图像经过点A（0，8）、B（6，2），C（9，m），延长AC交x轴于点D.（1）求这个二次函数的解析式及m的值；（2）求ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与MDQ相似，求此时点P的坐标.【难度】★★★【答案】【解析】【习题2】（2015学年·长宁区、金山区一模·第24题）如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA//BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知2OEEB，3CB，6OA，35BA，5OD．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）求证：ODE∽OBC；（3）在y轴上找一点G，使得OFG∽ODE，直接写出G点的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】随堂检测9/13ABCDEP【习题3】（2015学年·崇明区一模·第24题）如图，已知抛物线258yxbxc经过直线112yx与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且90ABC．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C坐标；（3）直线112yx上是否存在点P，使得BCP与OAB相似，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【习题4】（2013学年·黄浦区一模·第25题）如图，在ABC中，90ACB，8AC，45sinB，D为边AC中点，P为边AB上一点（点P不与点A、B重合），直线PD交BC延长线于点E，设线段BP长为x，线段CE长为y．（1）求y关于x的函数解析式并写出定义域；（2）过点D作BC平行线交AB于点F，在DF延长线上取一点Q，使得QFDF，联结PQ、QE，QE交边AC于点G．○1当EDQ与EGD相似时，求x的值；○2求证：=PDDEPQQE．【难度】★★★【答案】【解析】yOxAB10/13ABCDEFGPQ【习题5】（2013学年·虹口区一模·第25题）已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC边的中点，点P为AB边上一动点，沿PE翻折BPE得到FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联结EQ．（1）如图，当1.5BP时，求CQ的长；（2）如图，当点G在射线AD上时，设BP=x，DGy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）延长EF交直线AD于点H，若CQE∽FGH，求BP的长．【难度】★★★【答案】【解析】11/13xyABCO【作业1】如图，在平面直角坐标系内，已知直线4yx与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线21yxkxk图像过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B．（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与ABC相似，请求出点D的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【作业2】（2015学年·杨浦区一模·第24题）已知在平面直角坐标系中，抛物线212yxbxc与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线4yx经过A、C两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P、Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ//AO，PQ=2AO．求点P、Q的坐标；（3）动点M在直线4yx上，且ABC与COM相似，求点M的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】课后作业AyCBOx12/13ABCOMxyOPABCDE【作业3】（2015学年·浦东新区一模·第24题）如图，抛物线22yaxaxc（0a）与x轴交于A（3，0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为M．（1）求a、c的值；（2）求tanMAC的值；（3）若点P是线段AC上一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【作业4】（2013学年·闸北区一模·第25题）已知：如图，在等腰直角ABC中，ACBC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且45DAE，AC与DE交于点O．（1）求证：ADE∽ACB；（2）设CDx，tanBAEy，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果COD与BEA相似，求CD的值．【难度】★★★【答案】【解析】13/13ABCOxy【作业5】（2015学年·宝山区一模·第25题）（1）已知二次函数(1)(3)yxx的图像如图，请根据图像直接写出该二次函数图像经过怎样的左右平移，新图像通过坐标原点？（2）在关于二次函数图像的研究中，秦篆晔同学发现抛物线2yaxbxc（0a）和抛物线2yaxbxc（0a）关于y轴对称，基于协作共享