初中数学函数知识点归纳

初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。一、一次函数1.定义：在定义中应注意的问题y＝kx＋b中，k、b为常数，且k≠0，x的指数一定为1。2.图象及其性质（1）形状、直线（）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限200kyxkyx（）若直线：：3111222lykxblykxb当时，；当时，与交于，点。kkllbbbllb121212120//()（4）当b0时直线与y轴交于原点上方；当b0时，直线与y轴交于原点的下方。（5）当b=0时，y＝kx（k≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。3.应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。（二）反比例函数1.定义：应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”ykxkx10212.图象及其性质：（1）形状：双曲线（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()yxyx（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300kyxkyx（4）过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。3.应用（）应用在上（）应用在上（）其它其要点是会进行“数形结合”来解决问题123PFSuSt二、二次函数1.定义：应注意的问题（1）在表达式y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c为常数且a≠0）（2）二次项指数一定为22.图象：抛物线3.图象的性质：分五种情况可用表格来说明表达式顶点坐标对称轴最大（小）值y随x的变化情况(1)y=ax2(0，0)直线x=0(y轴)①若a0，则x=0时，y最小=0②若a0，则x=0时，y最大=0若a0，则x0时，y随x增大而增大若a0，则当x0时，y随x增大而减小(2)y=ax2+c(0，0)直线x=0(y轴)①若a0，则x=0时，y最小=0②若a0，则x=0时，y最大=0①若a0，则x0时，y随x的增大而增大②若a0，则x0时，y随x的增大而减小(3)y=a(x－h)2(h，0)直线x=h①若a0，则x=h时，y最小=0②若a0，则x=h时，y最大=0①若a0，则xh时，y随x的增大而增大②若a0，则xh时，y随x的增大而减小表达式顶点坐标对称轴最大（小）值y随x的变化情况(4)y=a(x－h)2+k(h，k)直线x=h①若a0，则x=h时，y最小=k②若a0，则x=h时，y最大=k①若a0，则xh时，y随x的增大而增大②若a0，则xh时，y随x的增大而减小(5)y=ax2+bx+c(ba2，442acba)直线x=ba2①若a0，则x=ba2时，y最小=442acba②若a0，则x=ba2时，y最大=442acba①若a0，则xba2时，y随x的增大而增大②若a0，则xba2时，y随x的增大而减小4.应用：（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它平面直角坐标系、函数及其图像【知识梳理】一、平面直角坐标系1.坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2.各象限点的坐标的符号；3.坐标轴上的点的坐标特征．4.点P（a，b）关于原点轴轴yx对称点的坐标),(),(),(bababa二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.2.自变量的取值范围：（1）使解析式有意义（2）实际问题具有实际意义3.函数的表示方法；（1）解析法（2）列表法（3）图象法【思想方法】数形结合一次函数图象和性质【知识梳理】1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函数ykxb的图象是经过（kb，0）和（0，b）两点的一条直线.3.一次函数ykxb的图象与性质【思想方法】数形结合反比例函数图象和性质【知识梳理】1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．2.反比例函数的图象和性质3．k的几何含义：反比例函数y＝kx(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为.【思想方法】数形结合k、b的符号k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限性质y随x的增大而y随x的增大而而y随x的增大而y随x的增大而k的符号k＞0k＜0图像的大致位置经过象限第象限第象限性质在每一象限内,y随x的增大而在每一象限内,y随x的增大而oyxyxoyxO二次函数图象和性质【知识梳理】1.二次函数2()yaxhk的图像和性质a＞0a＜0图象开口对称轴顶点坐标最值当x＝时，y有最值当x＝时，y有最值增减性在对称轴左侧y随x的增大而y随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而锐角三角函数【思想方法】1.常用解题方法——设k法2.常用基本图形——双直角【例题精讲】例题1.在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=12，则tanB=______;（2）若cosA=45，则tanB=______．例题2.（1）已知：cosα=23，则锐角α的取值范围是（）A．0°α30°B．45°α60°C．30°α45°D．60°α90°（2）当45°θ90°时，下列各式中正确的是（）A．tanθcosθsinθB．sinθcosθtanθC．tanθsinθcosθD．sinθtanθcosθ一次函数考点回顾:1、形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫一次函数．正比例函数也是一次函数．2、一次函数的图象是一条过，（0，b）的直线．3、一次函数的性质：①当k＞0时，y随x的增大而增大；②当k＜0时，y随x的增大而减小．4、会用待定系数法求一次函数的解析式．考点精讲精练：1、一次函数的图象如图所示，求其解析式．变式练习1、若直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行，且过点（1，－1），求k，b的值．2、若一次函数y＝（1－2k）x－k的函数值y随x的增大而增大，且此函数图象过一、三、四象限，则k的取值范围是（）A．B．C．D．变式练习2、下列图象中，不可能是关于x的一次函数y＝mx－（m－3）的图象的是（）3、如图，设函数y＝x＋4的图象与y轴交于点A，函数y＝－3x－6的图象与y轴交于点B，两个函数的图象交于点C，求通过线段AB的中点D及点C的一次函数的解析式．变式练习3、若直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的解析式．4、一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间后，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过几分钟，容器中的水恰好放完？5、甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价为60元，乒乓球每盒定价为10元．世乒锦标赛期间，两家商店都进行促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠．某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）．设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式（不必注明x的取值范围）；（2）试说明在哪一家商店购买所需商品较便宜？反比例函数考点回顾：1、一般地，形如y＝(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数．反比例函数解析式有三种常见的表达形式：（A）y＝（k≠0），（B）xy＝k（k≠0），（C）y＝kx－1（k≠0）.2、反比例函数的图象和性质：（1）反比例函数的图象是双曲线．当k0时，双曲线分别位于第一、三象限；当k0时,双曲线分别位于第二、四象限内．（2）反比例函数性质：当k0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k0时，在每一象限内，y随x的增大而增大．考点精讲精练：1、若函数是反比例函数，则的值为（）A．B．C．或D．且变式练习11、已知是的反比例函数，当时，，那么当时，的值为______.2、若反比例函数的图象经过二、四象限，则k＝_______.3、已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（）A．B．C．D．2、在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的取值范围是（）A．B．C．D．变式练习2已知反比例函数，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．随的增大而减小C．图象在第一、三象限内D．若，则3、如图所示，在函数的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是矩形，点B、P在曲线上，下列说法不正确的是（）变式练习3如图，正比例函数y＝kx(k0)与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，求△ABC的面积．．4、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应（）变式练习4某空调厂的装配车间计划组装9000台空调：（1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台/天）与生产的时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）原计划用2个月时间（每月以30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？5、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.变式练习5如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，如果A点坐标为（2，0），点C、D分别在第一、三象限，且OA＝OB，点C的横坐标为4.求：（1）一次函数的关系式；（2）点C的坐标；（3）反比例函数的关系式；（4）点D的坐标；（5）请观察图象回答：当x取何值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.二次函数（一）考点回顾：1、二次函数的概念一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．2、二次函数的图像与性质（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下；（2）抛物线的顶点坐标为；（3）抛物线的对称轴为；（4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值；3、二次函数一般有三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为（h，k）；（3）交点式：，x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式．4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．考点精讲精练：1、二次函数y＝－4x2＋2x＋的对称轴是直线__________．变式练习11、抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是（）A．直线x＝－3B．直线x